الترفيهات الهندسية
تمثيل متعدد الوجوه لنقطة حادة، حساب انحنائها المركّزة.
تمثيلات متعددة الوجوه لأسطوانات مختلفة.
تبادل مواقع النقاط الحادة لسطح كروس كاب.
تحويل سطح بوي "اليميني" إلى سطح بوي "اليساري"، عبر سطح ستاينر الروماني.
انعكاس "اليمين-اليسار" لسطح بوي.
جان بيير بيتي
مدير بحث في CNRS
1988-1999 ---
ملخص:
نعرض بعض العناصر التي تسمح بتمثيل النقاط التي تتجمع فيها الانحناءات: "البوزيكونات"، "النيغاكونات" ونماذجها المتعددة الوجوه: "البوزيكونات" و"النيغاكونات"، والتي تسمح ببناء تمثيلات متعددة الوجوه لأسطوانات مختلفة، واسترجاع انحنائها الكلي. وبهذا، يتكوّن التمثيل المتعدد الوجوه لسطح ستاينر الروماني من أربع مكعبات متصلة بجوانبها، مما يجعله أكثر وضوحًا. وقد تم بالفعل تقديم تمثيل متعدد الوجوه لسطح بوي في كتاب "التوبولوجيكون"، 1985، دار النشر بيلين، الصفحات 48 و49، على شكل قطع يجب تركيبها. كما ظهرت على الصفحة 46 تمثيلات متعددة الوجوه للحلقة (التوروس) وعبوة كلاين. ونقدم هنا تمثيلات متعددة الوجوه لسطح كروس كاب. وقيمة الانحناء الكلي لجميع التداخلات المختلفة للمستوى المشروع في R3: سطح بوي، كروس كاب، سطح ستاينر الروماني، تساوي 2π. يسمح التمثيل المتعدد الوجوه للنقاط الحادة، المُعتبرة نقاط انحناء مركّزة، بحساب هذا الانحناء بسهولة كبيرة. تظهر كروس كاب، وسطح ستاينر الروماني، وسطح بوي كـ"وجوه متعددة" لجسم واحد: المستوى المشروع. وبما أن هذا ليس واضحًا من النظرة الأولى، نقوم ببناء تحولات هندسية تسمح بالانتقال من أحد هذه الأشكال إلى الآخر. نبدأ من كروس كاب ونحوّله إلى سطح ستاينر الروماني من خلال إضافة نقطتين حادتين إضافيتين (أي نطبّق في هذا الاتجاه التغيير العام "الخلق والانقراض للنقاط الحادة")، ثم نحوّل سطح ستاينر إلى سطح بوي من خلال اندماج أزواج من النقاط الحادة. وبشكل جانبي، وباستخدام حقيقة أن التثبيت القياسي للكرة يمكن تحويله إلى تثبيته المعاكس (عكس الكرة)، نُظهر أن النقطتين الحادتين في كروس كاب يمكن تبديل موقعهما من خلال سلسلة من التداخلات، مما يوضح أن هاتين النقطتين متكافئتين.
مقدمة عامة:
سيجد القارئ هنا عناصر عامة موجودة أيضًا في مقدمة "الفيزياء الهندسية أ" (تعريف البوزيكونات، النيغاكونات، إلخ). إذا أراد تخطي هذا الجزء، يكفي أن [انقر هنا](#البوزيكونات والنيغاكونات).
إذا رُسِم مثلث على مستوى مكوّن من ثلاثة أضلاع مستقيمة، فإن مجموع الزوايا عند الرؤوس يساوي π. يمكن الحصول على هذه الخطوط المستقيمة في المستوى بطريقة أخرى: من خلال لصق شرائط من شريط لاصق على السطح دون تجعيد. نسمّي هذه المسارات في المستوى "المسارات الجيوديسية". يمكن رسم منحنيات جيوديسية على أي سطح باستخدام هذا الأسلوب، مثلاً على جناح سيارة أو على غطاء السيارة.
الشكل 1: مثلث يُنظر إليه كمجموعة من ثلاث جيوديسيات من المستوى
البوزيكونات والنيغاكونات
نقوم بقص مستوى، ثم نلصق الحافتين، ثم نرسم مثلثًا باستخدام شريط لاصق، مكوّن من ثلاث جيوديسيات من هذا المخروط.
الشكل 2: بناء بوزيكون
عند فصل الحافتين للسطح حسب القص السابق (الشكل 3)، سيتضح بسهولة باستخدام المنقلة أن مجموع الزوايا A وB وC يساوي π بالإضافة إلى زاوية القص α. نسمّي هذا الانحراف عن المجموع الإقليدي "الانحناء"، ونقول إن المثلث "يحتوي" كمية معينة من الانحناء الزاوي α. سيكون هذا الانحراف نفسه بغض النظر عن المثلث، إذا كان يحتوي على رأس المخروط. أما إذا لم يكن يحتوي عليه، فإن المجموع سيكون π. نقول إن الانحناء مركّز عند الرأس M للمخروط، الذي يُعتبر إذًا "نقطة انحناء مركّزة". وبما أن مجموع الزوايا أكبر من المجموع الإقليدي، نقول إن هذا الانحناء موجب. وبهذا، سيكون المستوى في هذه الرؤية سطحًا من انحناء صفر.
الشكل 3: فتح البوزيكون مسطحًا
هذا الانحناء جمعي. إذا لصقت عدة من هذه المخاريط، متناظرة مع زوايا α، β، γ، فستتمكن من رسم أنواع مختلفة من المثلثات المكوّنة من أقواس جيوديسية. وإذا احتوى المثلث على ثلاث نقاط متناظرة لانحناءات مركّزة قيمتها α، β، γ، فإن مجموع زواياه عند الرؤوس سيكون: π + α + β + γ.
يمكن اعتبار سطح انحناء موجب ككرة كتركيب من عدد لا نهائي من "البوزيكونات". بدلًا من أن يكون الانحناء مركّزًا في نقاط مختلفة، سيكون موزعًا بشكل موحد على كامل السطح. نقول إن الكرة سطح "بانحناء ثابت" (أو بـ"كثافة انحناء زاوي ثابتة").
الشكل 4: مثلث مكوّن من ثلاثة أقواس جيوديسية
على الكرة، تكون الجيوديسيات "دوائر كبيرة". ويُعد الاستواء والخطوط الطولية دوائر كبيرة، وهي أقواس جيوديسية على الكرة. لكنك لن تتمكن من إنشاء دائرة عرض باستخدام شريط لاصق. الدوائر العرضية ليست جيوديسيات على الكرة. ويعتمد مجموع الزوايا عند الرؤوس لمثلث مرسوم على الكرة على النسبة بين مساحة المثلث ومساحة الكرة. سيكون مجموع زوايا مثلث صغير جدًا قريبًا جدًا من π.
مثلث مساحته ثمن مساحة الكرة سيكون له مجموع زوايا:
A + B + C = 2π
يمكن اعتبار دائرة كبيرة على الكرة كـ"مثلث"، بشرط وضع الرؤوس الثلاثة... في أي مكان على هذه الدائرة. سيكون المجموع A + B + C = 3π. ويحتوي على نصف مساحة الكرة.
ما هو الحد الأقصى للانحراف؟ لا يمكن القول "نُكبر المثلث بتجاوز هذه الدائرة الكبيرة"، لأن ما بعد هذه الدائرة تقل طول الأقواس الجيوديسية المكوّنة لأضلاعه، بل تقترب من الصفر.
عندما نُحيط بجميع أسطح الكرة، نحصل على:
A + B + C = 5π = π + 4π
نقول إن الانحناء الكلي للكرة يساوي 4π.
الشكل 5: مجموع الزوايا. مثلث مكوّن من أقواس جيوديسية على الكرة.
كمية الانحناء المحتوية في مثلث تتوافق مع قاعدة الثلاثة البسيطة:
الآن سنقوم بإنشاء "نيغاكون"، من خلال إدخال قطعة زاوية α في مستوى، كما هو موضح في الشكل 6:
الشكل 6: نيغاكون
عند إزالة القطعة الزاوية، نحصل على ما يلي:
الشكل 7: فتح النيغاكون مسطحًا
مجموع زوايا المثلث يساوي A + B + C = π - α
نقول إن هذا السطح هو نيغاكون يمتلك "نقطة انحناء مركّزة سالبة". ويكون هذا الانحناء أيضًا جمعيًا. عند تجميع سطح مع تراكيب من بوزيكونات صغيرة ونيغاكونات صغيرة...