أصلية جديدة للمجموعات

أصل جديد للهياكل الجبرية **

...يقيم سورياو في شقة في أكس القديمة. الباب المؤدي إلى الشارع رائع. في المدخل، يُركَّب مركبة غريبة نوعًا ما: مقعد نقل قديم يعود لعصر ما، يُنتمي إلى صاحبة المنزل، وهي شابة، أثريّة، أعتقد. يُركَّب المقعد على الجدار. ما تبقى هو إيجاد حاملين، ووضع القضبان الطويلة من الخشب في الحلقات، ثم الجلوس لأخذ جولة. توجد فتحات زجاجية: يمكن خفض الزجاج الجانبي، ليس باستخدام مقبض، بل باستخدام حزام جلدي، كما كان الحال في عربات القطارات في طفولتي.

...ما أجمل كل هذا! أدرك أنني لم أركب مقعد نقل قط. أعتقد، في زمن البطالة الحالي، أن الناس يمكنهم كسب لقمة العيش من خلال إقامة أول خط منتظَم من مقاعد النقل في أكس القديمة. ما يكفي هو بناء مركبة تشبه المقاعد القديمة. لا يجب أن يكون ذلك صعبًا جدًا. ثم شراء ملابس مزينة بتطريز، وشعر مصطنع، وانطلق. المسار: شارع ميرابو. هذا كافٍ تمامًا. بعد ذلك، ما يتبقى هو الحلم، وبعض الخيال.

...يقيم جان ماري وحيدًا مع قطه، بيوم، في شقته الواسعة المليئة بالذهبية والخشب المزخرف. بيوم لطيف جدًا. ومع ذلك، لا أشعر بجاذبية كبيرة تجاه القطط. لكن هذا القط لطيف جدًا وودود.

عادةً ما نعمل في المطبخ، الذي يقع طابقًا أعلى. غرفة صغيرة تحت السقف، تتناقض صغيرتها مع حجم الغرف الكبيرة في الطابق السفلي. كلما تناول جان ماري شرابه المفضل: فيرنيت برانكا، المصنوع من الفاصولياء، الذي أجد أنه سيء جدًا، لكنه ينسب إليه كل الفوائد.

...عندما يخرج في المدينة، يأخذ جهاز الملاحة (GPS) معه، ولا يفارقه أبدًا. من المثير حقًا أن ترى نفسك تُرشد بواسطة أقمار صناعية تبعد عن الشارع الذي تسير فيه أربعين ألف كيلومتر. لتحسين الاستقبال، يميل سورياو إلى المشي في منتصف الشارع، وعيناه مثبتتان على الشاشة السائلة. فعّال، يبدو الأمر، لكنه في الوقت نفسه خطر نسبيًا.

...أجد أننا نستمتع كثيرًا معًا. في ليلة من ليالي ديسمبر، زرتُه، وانتقلت المحادثة كالتالي:

• سأتحدث إليك عن المجموعات. هل تتذكر البديهيات؟

• نعم، هناك ستة. وهي:

1 - يوجد عناصر a، b، c... تنتمي إلى مجموعة E.

2 - يوجد عملية داخلية، تُرمز إليها بـ o ("دائرية")، تسمح بدمج عنصرين من المجموعة.

a تنتمي إلى المجموعة E

b تنتمي إلى المجموعة E

a o b تنتمي إلى المجموعة E

3 - هذه العملية تُحقق الخاصية التجميعية:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - يوجد عنصر محايد e بحيث:

a o e = e o a = a

5 - كل عنصر a من المجموعة له معكوس، يُرمز إليه بـ a-1، بحيث:

a-1 o a = a o a-1 = e

هل هذا خمسة؟

• في النهاية، خمسة، أو أربعة، أو واحد. لا توجد قاعدة مطلقة في عد البديهيات. يمكننا بسهولة دمج البديهيات 1 و2 في بديهية واحدة:

• يوجد عناصر a، b، c، إلخ... تنتمي إلى مجموعة E، مزودة بقانون تكوين داخلي يحقق:

a تنتمي إلى المجموعة E

b تنتمي إلى المجموعة E

a o b تنتمي إلى المجموعة E

وهذا مكافئ.

• حسنًا، خمسة، أربعة، لا فرق. إلى أين تُريد أن تصل؟

• سأُزيل ما سميته البديهيات 4 و5، التي تُعرّف العنصر المحايد والمعكوس، وسأُستبدلها ببديهية "الساندويتش". إذًا، البديهيات هي:

1 - يوجد عناصر a، b، c... تنتمي إلى مجموعة E.

2 - يوجد عملية داخلية، تُرمز إليها بـ o ("دائرية")، تسمح بدمج عنصرين من المجموعة.

a تنتمي إلى المجموعة E

b تنتمي إلى المجموعة E

a o b تنتمي إلى المجموعة E

3 - هذه العملية تُحقق الخاصية التجميعية:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - لنأخذ ثلاثة عناصر a، b، c تنتمي إلى المجموعة E.

لنأخذ المعادلة:

a o y o b = c

لها حل وحيد.

هذا ما أسميه بديهية "الساندويتش"، حيث يُعتبر "اللحم" y محصورًا بين العنصرين a و b، وc هو الكتلة الكاملة. تعني البديهية:

يمكن دائمًا إخراج اللحم من الساندويتش.
*

وأقول إن هذه البديهيات تُعرّف المجموعات، وهي مكافئة للبديهيات السابقة.

• هذا الحل الوحيد y هو عنصر من المجموعة E، لأن العملية داخلية وتجميعية.

• بالطبع، هذا واضح.

• لكنه أفضل أن نقوله. لا أعرف كيف ستعمل لاسترجاع البديهيتين اللتين تشيران إلى العنصر المحايد والمعكوس، لكنني أفهم على الأقل ما دفعك لطرح هذه الفكرة.

• فكرت: "ما فائدة ذلك؟"

• بالضبط. ما فائدة وجود عنصر محايد؟ بحد ذاته، يعني "إذا كان لدي مجموعة E وعنصر محايد، يمكنني تكوين جميع عناصر هذه المجموعة مع هذا العنصر وتحصل على نفس الناتج". هذا لا يعني شيئًا بالنسبة لي. وكذلك، ما فائدة المعكوس بحد ذاته؟ عندما نحسب في المجموعات، أو في أي شيء، نستعمل دائمًا ضربًا من اليمين أو اليسار بعناصر أو معكوساتها لظهور تعبيرات مثل a o a-1 أو a-1 o a، والتي نستبدلها بـ e، ثم b o e أو e o b التي نستبدلها بـ b. بديهية الساندويتش "عملية".

• إذا أردت. لننتقل إلى النظريات المستمدة من بديهية الساندويتش. أولها:

I - يوجد عنصر محايد، يُكوَّن مع نفسه، ويُعطي نفسه:

e = e o e

II - هذا العنصر المحايد وحيد.

الإثبات:

نبدأ من بديهية الساندويتش. المعادلة

a o y o b = c

لها حل وحيد y.

هذا صحيح أيضًا إذا كان b = c = a، إذًا

a o y o a = a

لها حل وحيد. نضرب من اليمين بـ y:

a o y o a o y = a o y

نُسمّي a o y = e

...هذا عنصر من المجموعة، لأن a و y ينتميان إلى المجموعة، والعملية داخلية. إذًا يوجد عنصر من المجموعة بحيث:

e o e = e

...تم إثبات النظرية الأولى. ننتقل إلى الوحدانية، النظرية الثانية. إذا لم تكن وحيدة، فهناك عنصر آخر من المجموعة، نسميه f، يحقق:

f o f = f

لدينا:

e o e = e

نضرب من اليمين بـ f:

e o e o f = e o f

نضرب من اليمين بـ e:

e o e o f o e = e o f o e

نستخدم التجميعية:

e o ( e o f ) o e = e o f o e

هذان تعبيران يمثلان ساندويتشين. نُسمّيهما:

p = e o ( e o f )

q = e o f o e

...ووفقًا لبديهية الساندويتش، يمكن "استخراج اللحم"، أي حساب التعبيرين ( e o f ) و f، وهما متساويان لأن p = q. إذًا:

( e o f ) = f

...نعيد التفكير من الافتراض المُعطى للعنصر الثاني f:

f o f = f

...نضرب من اليمين بـ e، ونضرب من اليسار مرتين:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

...نستخدم التجميعية:

e o ( e o f ) o f = e o e o f

...وباستخدام بديهية الساندويتش مرة أخرى، نستنتج أن:

e o f = e

إذًا:

e = f

النظرية الثالثة: إذا أخذت هذا العنصر e "الذي يساوي مربعه"، فإنه يؤدي إلى:

a o e = a

الإثبات:

نستخدم دائمًا بديهية الساندويتش. نبدأ من تعريف e:

e o e = e

نضرب من اليمين تباعًا بـ a و e:

e o e o a o e = e o a o e

نستخدم التجميعية:

e o ( e o a ) o e = e o a o e

إذًا:

e o a = a

نعود إلى:

e o e = e

ونضرب من اليسار تباعًا بـ a و e:

e o a o e o e = e o a o e

ونستخدم التجميعية:

e o ( a o e ) o e = e o a o e

إذًا:

a o e = a

تم إثبات النظرية الثالثة.

ننتقل إلى النظرية الرابعة

(وجود معكوس، يُرمز إليه بـ a-1).

العبارة: لنأخذ عنصرًا من المجموعة. يوجد عنصر وحيد، هو حل المعادلة:

a o y o a = a

سنُسمّي هذا العنصر a-1 ونسميه معكوس a. يحقق هذا العنصر الخصائص:

a o a-1 = e

a-1 o a = e

الإثبات.

وجود ووحيدية هذا العنصر هي نتيجة مباشرة من بديهية الساندويتش، عندما تُصاغ بهذه الطريقة:

عندما تكون شرائح الخبز متماثلة مع بعضها ومع الساندويتش، فإن اللحم يكون معكوس شريحة الخبز (أو الساندويتش).

a o y o a = a

يمكننا استخدام التجميعية بطريقتين:

( a o y ) o a = a

a o ( y o a ) = a

ولدينا:

e o a = a

a o e = a

إذًا الحل y يحقق:

a o y = e

y o a = e

نُثبت أن هذا الحل وحيد. إذا لم يكن كذلك، فهناك حل آخر:

a o z = e

z o a = e

نضرب المعادلة الأولى من اليسار بـ y:

y o a o z = y o e

( y o a ) o z = y

لكن y o a = e، إذًا:

z = y

نُسمّي هذا الحل a-1، وهو حل المعادلة الوحيدة:

a o a-1 o a = a

إذًا، هذا المجموعة الجديدة من البديهيات تؤدي إلى نفس الخصائص التي تُعرّف المجموعات بشكل تقليدي.

إذًا يمكن تعريف المجموعات باستخدام هذه المجموعة الجديدة من البديهيات:

تعريف المجموعة.

1 - يوجد عناصر a، b، c... تنتمي إلى مجموعة E.

2 - يوجد عملية داخلية، تُرمز إليها بـ o ("دائرية")، تسمح بدمج عنصرين من المجموعة.

a تنتمي إلى المجموعة E

b تنتمي إلى المجموعة E

a o b تنتمي إلى المجموعة E

3 - هذه العملية تُحقق الخاصية التجميعية:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - لنأخذ ثلاثة عناصر a، b، c تنتمي إلى المجموعة E.

لنأخذ المعادلة:

a o y o b = c

لها حل وحيد.

إذا رُضي أن عناصر المجموعة E، مزودة بعملية التكوين الداخلية، تحقق هذه البديهيات الأربعة، فأنا أقول إنها تُشكّل مجموعة.

نظرية: العنصر المحايد هو معكوسه نفسه. هذه التعريف الجديدة للعنصر المحايد، باستخدام معادلة واحدة فقط، تُنتج نوعًا آخر من الإثبات لهذه الخاصية.

e o e = e

هذا تعريف العنصر الخاص e. لكن بديهية الساندويتش تجعل هذه المعادلة تتطابق مع خاصية (وليس تعريفًا) المعكوس.

نظرية أخرى: معكوس المعكوس يساوي العنصر نفسه:

( a-1 )-1 = a

a-1 o a = e

a o a-1 = e

إذًا a هو معكوس a-1. ومنه تُستنتج الخاصية.

نُثبت أن:

( a o b )-1 = b-1 o a-1

نحسب:

a o b o b-1 o a-1 و b-1 o a-1 o a o b

نُثبت أن هذين التعبيرين يساويان e.

a o ( b o b-1 ) o a-1

= a o e o a-1

= a o a-1

= e

نفس الشيء للتعبير الآخر.

• إنها نظرة مختلفة على مفهوم المجموعة.

• أصل المجموعات.

• إذا أردت.

• لكن شيئًا ما يخبرني أن هذا المفهوم قد يُثبت نجاحه.

• الآن، انسَ كل شيء، حتى بديهية الساندويتش. فكر في مجموعة E مزودة بعملية تكوين داخلية o تُحقق التجميعية. افترض أن هناك عنصرًا في هذه المجموعة، يُعدّ عناصر أخرى، يُؤدي دور العنصر المحايد:

a o e = e o a = a - هل هو وحيد؟

• إذا وُجد، فهو بالضرورة وحيد، ويمكن إثبات ذلك.

• آه نعم، هذا صحيح.

• سأقول إن عنصرين a و b مرتبطان بعلاقة معكوسة إذا:

a o b = b o a = e

إذا أعطيت a، فإن b هو معكوسه. أقول إن إذا قلّصت المجموعة إلى المجموعة الجزئية للعناصر التي لها معكوس، فإن هذه المجموعة الجزئية تُشكّل مجموعة. هذه طريقة لـ بناء المجموعات. بمعنى آخر، نختار من المجموعة العناصر التي تحقق هذه الخاصية، وأقول إن هذا يكفي لتأكيد أن هذه المجموعة الجزئية تُشكّل مجموعة.

يجب إثبات أن هذه الخاصية داخلية.

• ما المقصود بذلك؟

• لنأخذ عنصرين a و a' يحققان هذه الخاصية، أي:

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a له معكوس b

a' له معكوس b'. إذًا هما في المجموعة الجزئية المذكورة. يجب إثبات أن a o a' له أيضًا معكوس.

نُزيل هذه الرموز "الدائرية"، فهي ثقيلة.

a' o b' = e

نضرب من اليسار بـ a ومن اليمين بـ b:

a o a' o b' o b = a o e o b = a o b = e

إذًا:

( a o a' ) o ( b' o b ) = e

نعود إلى:

b o a = e

نضرب من اليسار بـ b' ومن اليمين بـ a':

b' o b o a o a' = b' o e o a' = b' o a' = e

( b' o b ) o ( a o a' ) = e

إذًا العنصر الناتج من تكوين a و a'، اللذين لهما معكوس، له أيضًا معكوس.

• يبقى إثبات أن هذه المجموعة الجزئية تُشكّل بالفعل مجموعة.

• وللقيام بذلك، سأثبت أن هذه المجموعة الجزئية تحقق بديهية الساندويتش، أي أن:

a o y o b = c

لها حل وحيد y.

• أفهم. بشكل أكسيوماتي، أنت تفعل العكس تمامًا مما فعلته سابقًا. في البداية، أعطيت بديهية الساندويتش وأثبت أن هذا يؤدي إلى وجود معكوسات. الآن، تفترض أن جميع عناصر المجموعة لها معكوسات، وستعمل باستخدام هذه الخاصية لإعادة استنتاج بديهية الساندويتش.

• أفضل طريقة لإثبات أن المعادلة لها حل وحيد هي بناؤه. نضرب المعادلة أعلاه من اليسار بـ a-1 ومن اليمين بـ b-1:

a-1 o a o y o b o b-1 = a-1 o c o b-1

( a-1 o a ) o y o ( b o b-1 ) = a-1 o c o b-1

y = a-1 o c o b-1

• إذًا y هو بالفعل حل للمعادلة:

a o y o b = c

عند إدخال الحل المُبنى، نحصل على:

a o ( a-1 o c o b-1 ) o b = c

...هنا نفترض أننا يمكننا التعامل مع الأقواس، ونُعمّق التجميعية. افترضنا (وهو أحد البديهيات) أننا يمكننا فصل عنصرين في سلسلة عمليات:

a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b ) o ( c o d )

نحتاج إلى إثبات أنه مسموح بوضع ثلاثة عناصر بين قوسين. لكننا نقبل هذا دون إثبات.

التطبيقات:

...ننظر إلى مجموعة الأعداد الحقيقية مزودة بعملية الضرب x كعملية تكوين. هي داخلية، لكنها ليست مجموعة وفقًا لهذا المجموعة الجديدة من البديهيات. فعلاً، المعادلة التي تُعرّف العنصر e:

e o e = e

لها حلان:

e = +1 و e = -1

...ننظر إلى البناء السابق. نعطي مجموعة (الأعداد الحقيقية)، وعملية تكوين، تجميعية (الضرب). هذه المجموعة تحتوي على عنصر محايد 1، الذي لا يُعرّف كحل لـ

e o e = e

بل كعنصر، يُكوَّن مع أي عنصر آخر في المجموعة (بما في ذلك نفسه)، ويُعيد نفس العنصر، أي التعريف التقليدي:

لكل a تنتمي إلى المجموعة E، صحيح أن:

e o a = a o e = a

إذا بدأنا من التعريف التقليدي للمعكوس:

a o a-1 = a-1 o a = e

...أثبتنا أن المجموعة الجزئية للعناصر التي لها معكوس تُشكّل مجموعة. إذًا الأعداد الحقيقية بدون الصفر تُشكّل مجموعة.

نأخذ المصفوفات المربعة من الرتبة (n,n). لديها عنصر محايد:

مع الصفر خارج القطر الرئيسي، الممتلئ بـ "1".

المصفوفات القابلة للعكس تُشكّل مجموعة تُسمى المجموعة الخطية GL(n).

• هذا يعجبني جدًا.

• همم... إنها مجرد صيغة مختلفة من الأكسيومات التقليدية. عرضتُ هذا في ندوة في علم المعرفة، في غرينوب، قبل أسبوع.

مُستكملًا