تُعدّ غمر سطح في R³ تمثيلاً حيث يكون المستوى المماس مستمراً ولا يوجد أي مجموعة من التقاطع الذاتي. يمكن غمر الكرة والطّور في R³.
الانغماس لسطح في R³ يمتلك أيضاً مستوى مماس مستمر، لكنه يحتوي على مجموعة من التقاطع الذاتي. أمثلة: سطح بوي، زجاجة كلاين.
يمكن دائمًا تحويل غمر إلى انغماس. خذ كرة واحضر نقطتين، مثلاً متقابلتين (أقطابًا)، إلى التلامس من الداخل. في هذا العالم "اللامادي" للانغماسات، يمكن للسطوح أن تتقاطع ذاتياً. وينتج عن ذلك تكوّن منحنى تقاطع ذاتي (هنا دائرة).
لكن العكس ليس ممكناً تلقائياً. فمثلاً، لا يمكن غمر المستوى المشروع في R³، بل يمكن فقط إغماره فيه. الشكل الكلاسيكي لهذا الانغماس هو سطح بوي، الذي يحتوي على مجموعة تقاطع ذاتي على شكل حلزون ثلاثي، مع نقطة ثلاثية (حيث تتداخل ثلاث طبقات). انظر الأشكال 29a و29b. نفس الشيء ينطبق على زجاجة كلاين، حيث يكون أصغر تقاطع ذاتي منحنى مغلق. انظر "التوبيولوجيكون"، الصفحة 46. يمكن اعتبار الغمر حالات خاصة من الانغماس، حيث تكون مجموعة التقاطع الذاتي فارغة. التمثيلات التي تظهر فيها نقاط قُمّية (cuspidaux) ليست انغماسات، لأن هذه النقاط تكون مفردة من حيث استمرارية المستوى المماس. نسمي هذه التمثيلات انزلاقات لأجسام في R³. قد تبدو انزلاق سطح في R³ كأنه انغماس "في كل مكان تقريباً"، أي مستمر في المستوى المماس، ما عدا في عدد محدود من النقاط. لكن هذه ليست تعريفاً دقيقاً بما يكفي، لأن هناك طرقاً متعددة لاستحداث عدم استمرارية في المستوى المماس. سنعود إلى مسألة عدم الاستمرارية لاحقاً.
السطوح، وبشكل عام الكائنات الهندسية: نقطة، خط، منحنى مغلق، "منحنى بحافة" (قطعة أو "كرة b1")، قرص، إلخ...، هي كالأجسام في لغة. استخدمنا هذه العناصر بكثرة في "التوبيولوجيكون" (انظر cd-Lanturlu)، "كلمات" أو "حروف" يمكننا من خلالها تكوين كلمات، ثم جمل، حسب قواعد نحوية. نسمّي هذه الكائنات تركيبات.
هناك تحولات تُعدّ عمليات هندسية حقيقية. في المقال، وصفنا عملية خلق/إفناء نقاط قُمّية. دعونا نفصّلها.
كائن أساسي هو ما يمكن تسميته "الأسطوانة غاما".
يحتوي على خط تقاطع ذاتي، ومنه، عن طريق ضغط الممر الأنبوبي العلوي، سنُنشئ نقطتين قُمّيتين.
نبدأ عملية الضغط: 
تبقى مقطع السطح دائماً على شكل "غاما"، لكنه يتوسع. تحليل الجوار حول نقطة مفردة أمر دائمًا معقداً. هناك عدة رسومات ممكنة، تتوافق مع أنواع مختلفة من المفردات.
النقطة G تمثل اندماج نقطتين قُمّيتين. يُطلق الأنجليز على جميع المفردات مصطلح "cusps". الترجمة (من القاموس): قرن، قمة. لكن قمة القرن هي نقطة مخروطية. لاروسي: قُمّة: نقطة حادة وطويلة، من اللاتينية "cuspida": نقطة. قد تأخذ المفردة الناتجة عن الاندماج أشكالاً أخرى، مثلاً: 
المقطع العرضي هو نفسه: هذا "V" مقلوب، لكنه ليس نفس الكائن، ولا نفس المفردة. على أي حال، يمكن الانتقال من أحد هذه الأشكال إلى:
حيث لدينا نقطتان قُمّيتان C1 وC2. تغير المقطع المستقيم (مُمثل على اليمين مع، فوق الرسم، مستوى القطع).
هذه هي التغيير "C".
تفاصيل: 
أشرح لأحد أصدقائي عبر الهاتف ما هي النقطة القُمّية.
-
تخيل أنك صعدت على حصان. فجأة، بساقَيك، تضغط على الحصان لجعل ساقيك-القطعتين يلتحمان معًا. يتغير السطح-الحصان. تُلتحم مؤخرة الحصان اليمنى مع كتفه الأيسر، ومؤخرته اليسرى مع كتفه الأيمن.
-
لكن أين النقطة القُمّية؟
-
أنت جالس عليها.
يُسمّى الظاهرة التي تتضمن تغيير ربط الطبقات جراحة. العملية الموصوفة أدناه هي تكوين نقطة قُمّية من أسطوانة قُطعية (الحصان من قبل):
بعد "إطباق الحصان": 
في الأعلى، النقطة القُمّية.
النقطة القُمّية الناتجة عن إطباق سطح على طول قطعة وتعديل ربط الطبقات (جراحة) تساعدنا على فهم كيفية تحويل كرة إلى "كروس-كاب" (يُعرف أيضًا بالفرنسية بـ "كرة بقبعة متقاطعة") عن طريق تضييق كرة باستخدام مشط شعر. 
يصبح المشط إذًا الأداة الأبسط لتحويل كرة إلى سطح أحادي الوجه.
إليك الآن كروس-كاب:
ملاحظة صغيرة: كيف "نُشبّك" كروس-كاب؟ يمكننا البدء من تمثيلها متعددة الأوجه:
منها يمكننا استنتاج الشبكة القريبة من النقطة القُمّية:
هل يعني ذلك أن ضربة مشط شعر تحول تلقائياً سطحاً ثنائي الوجه إلى سطح أحادي الوجه؟ لا، انظر الرسم التالي: 
هنا، تم تضييق كرة بين قاعدتين. يبقى السطح ثنائي الوجه. ارسمه، سترى. يمكنك استخدام لونين (لكن لا يمكنك فعل ذلك مع كروس-كاب، لأنها أحادية الوجه):
منظر آخر: 
بهذه الصورة، تُظهر الكرة نصف جزئها الخارجي ونصف جزئها الداخلي. إذا واجهت صعوبة في رؤية هذا الكائن، إليك تمثيلاً متعدد الأوجه:
عندما نصل إلى مثل هذه التمثيلات المتعددة الأوجه، قد نميل إلى تطبيق تحليل "الخلايا الانكماشية" (انظر "التوبيولوجيكون"، في cd-Lanturlu) لمحاولة حساب خاصية أويلر-بونكاريه. التمثيلات المتعددة الأوجه للكرة (مكعب بسيط)، أو للطّور، تسمح لنا بحساب خاصيتهم. اثنان للواحدة، وصفر للثانية. في الكتاب، الصفحة 47، وُجد فيها مخطط تركيب "مكعب بوي" حيث تم تمثيل الحواف. أثناء ذلك، يمكن تجميع هذا التمثيل باستخدام "ملفات مقطع مربع رينولدز"، من سبائك خفيفة، تُستخدم لصنع الرفوف. قم بتقطيع الأنابيب المربعة بالمنشار، الأفضل...