التمثيل التحليلي لسطح بوي

f5101 تمثيل تحليلي لسطح بوي ج.ب. بيتي و ج. سوريو .

... فيما يلي إعادة إنتاج مذكرة منشورة في مذكرات الأكاديمية الفرنسية للعلوم في باريس، موقعة من قبل ج.ب. بيتي وج. سوريو، وتاريخها 1981.

**...**لقد كان لهذا العمل قصة. حتى ظهور ألبومي "التوبولوجيكون" الصادر عن دار النشر بيلين ضمن سلسلة مغامرات أنسيلم لانتورلو، في عام 1985، كانت التمثيلات المرئية لسطح بوي في الكتب المتخصصة نادرة جدًا. كان يُمكن العثور هنا وهناك على صور لنموذج مصنوع من الجبس أو من شبكة الدجاج. كان تشارلز بugh، من قسم الرياضيات في جامعة بركلِي، هو الخبير العالمي غير المُنْكَر في صناعة الشبكات المعدنية. بل إنّه استخدم هذا المادّة لصنع نماذج حاصلة على جائزة مالية كبيرة، تُمثّل عملية عكس الكرة حسب بيرنارد مورين، ثم تم تحويلها رقميًا بواسطة نيلسون ماكس لتصبح فيلمًا ينتشر في جميع أقسام الرياضيات حول العالم.

**...**لكنني أجد أن شبكة الدجاج لا تزال مادة غير مُحترمة، خصوصًا في المواضيع العلمية الرفيعة. بعد أن تعرفت على فنان بُلستيكي يُدعى ماكس سوزي، بدأت أتعلم تقنية السلك النحاسي، الذي يكون مرنًا وقاسيًا في آنٍ واحد، والذي يُلصق بمهارة عالية، مع الحرص على عدم تسخينه كثيرًا لئلا يُحدث توترات غير مرغوب فيها في المادة.

**...**كان صديقي جاك بولير، المعروف بـ"فاسلين"، أستاذًا في مدرسة الفنون الجميلة في آكس-أن-بروفنس. في أحد السنوات، اقترح عليّ أن أستبدل أحد أساتذته الذي سافر إلى الخارج، ففعلت ذلك، وعملت بدوام نصفي مع سوزي. بينما كنت أخترع القطع، كان ماكس يُلصقها. كان طلابنا، وهم يدورون حولنا بفضول، يحاولون تقليدنا بأفضل ما يقدرون. في تلك السنة، أصبحت هذه الجناح من مدرسة الفنون الجميلة في آكس-أن-بروفنس نوعًا من المصانع الصناعية لتصنيع الأسطح الرياضية.

**...**إذا أردت أن تبدأ، فالأمر ليس معقدًا. تحتاج فقط إلى لفة من هذا السلك النحاسي، بقطر حوالي مليمترين، أو ما لا يزيد عن ذلك، ومقص حاد. وبهذا يمكنك تمثيل عائلتين من المنحنيات التي تكوّن أي سطح.

**...**المشكلة تكمن في التمثيل الصحيح لهذه القطع. لذا من الجيد أن تتمكن من تمرير نقاط الاتصال، حيث يتقاطع "المنقط" مع "الدوائر العرضية". حل جيد هو ربط السلكين المعدنيين بخيط خياطة. هذا يعطي الجسم متانة كافية، لكنه يظل سهل التزحلز لتمكين التمدد والتعديل.

**...**تُعدّ هذه المرحلة مُنْتهية فقط حين تُقدّر أن الجسم يتوافق رياضيًا مع رغباتك، حيث يمكنك حينها تسليمه لشخص يتقن استخدام اللحام بالفضة، ويعرف كيف يُلصق دون تسخين الأقطاب، كما كان ماكس يفعل ببراعة فائقة.

**...**في يومٍ ما، جلبت نموذجًا أوليًا لسطح بوي، بعد أن اكتشفت كيف يجب أن تُرتّب الخطوط الطولية والعرضية. ظاهريًا، كان بالإمكان جعل الخطوط الطولية تشبه إلى حدّ لا يُمكن التمييز بينها وبين عائلة من القطوع الناقصة.

**...**قام ماكس بنسخ هذا النموذج بدقة. ثم ذهبت إلى سوريو. كان ابنه (الذي لم يكن ليُحتمل إنهاء شهادته في الفيزياء) يلعب بجهاز آبل 2 لوالده. فقلت له:

• جيروم، هل ترغب في أن يكون لديك نشرة رياضية نقية باسمك؟

• حسنًا، لماذا لا؟ من يجب أن أقتله من أجل ذلك؟

• لا أحد. انظر إلى هذا الشيء. خذ المسطرة، قس هذه القطوع الناقصة، وحاول أن تُنشئ تمثيلًا شبه تجريبي لهذا السطح.

• يمكننا المحاولة، أعطِني...

**...**بعد يومين، كان الأمر قد تم. وتم قبول المقالة بسرعة في مذكرات الأكاديمية الفرنسية للعلوم في باريس، ونُشرت تحت اسمينا: ج.ب. بيتي وج. سوريو.

**...**لكن بما أن الأب يُدعى جان-ماري، والابن جيروم، فإن جميع الرياضيين مقتنعون بأن العمل تم بالفعل معًا، من قبل سوريو الأب وحدي.

**...**رسم السطح على الحاسوب باستخدام برنامج صغير بلغة باسيك من بضع سطور أثار دهشة العديد من الرياضيين، الذين توقعوا شيئًا أكثر تعقيدًا. كان لهذا الأمر تداعيات غير سارة. كان لدى الرياضي بيرنارد مورين طالب دكتوراه يُدعى أبيري، ابن أبيري الأب، المؤلف للنظرية المُحْدِقة التي تنص على أن مجموع مكعبات الأعداد الصحيحة هو عدد غير نسبي. من بين أمور أخرى...

**...**لم أكن أعلم بذلك. تأثر مورين بشدة بتطورنا، خاصةً لأنني في ذلك الوقت، بعفوية، أخبرته أن هذه الطريقة يجب أن تسمح بوصف سطح بوي ذو الأذنين الأربعة الذي جعله مشهورًا، والذي بُني باستخدام شبكة الدجاج من قبل بugh، ثم تم تحويله رقميًا بواسطة ماكس، وهكذا...

فأومأ مورين بحاجبيه:

• لا، هذا مستحيل! ...

**...**سنرى ذلك لاحقًا. أبقى مقتنعًا بالعكس. لكن هذه الجملة كانت تُشبه التصريح الشهير الذي أطلقه أرخميدس على الجندي الروماني الذي جاء ليُزعجه في تفكيره - "لا تلمس دوائرَي!"

بالفرنسية: "لا تلمس دوائرَي!"

هنا كان الشكل أكثر مثل: "لا تلمس قطوعي الناقصة!"

**...**في وقت لاحق، استخدم أبيري اكتشافي، الذي أظهر أن بإمكاننا تزويده بسطح بوي بنظام طولي قطعي ناقص، لبناء أول معادلة ضمنية لهذا الجسم:

f(x,y,z) = 0

**...**أثار غضب مورين من ظهوري كمُعَرِّض في أعماله الرياضية، ففرض على أبيري أن يُوضح في أطروحته أن ماكس سوزي هو من اخترع فكرة القطوع الناقصة. لم ينكر ماكس، لكن هذا غير دقيق. والدليل في مخزني: النموذج الذي جلبتُه إلى ماكس لكي يُنَظّفه.

**...**في النهاية، كل هذا أمرٌ سخيف إلى حدٍ ما. هذه القصة تُظهر فقط أن الرياضيين ليسوا أكثر ذكاءً من الفيزيائيين.

**...**المهندس الكولونا، رائد في مجال الصور المُصَنَّعة، استخدم معادلتنا كلها دون ذكر مصدرها. لكن هناك تفصيل ممتع: إذا رأيتَ على الشاشة صورًا لسطح بوي، و كانت "لنا"، فسترى بالتأكيد ثلاث طيات خفيفة بالقرب من قطبها. عيب في ضبط المعادلات. جيروم، ابن سوريو، قدّمها بسرعة، وكان من المُفضّل أن يُستخدم مكبس صغير بالقرب من القطب. لا يزال من الممكن القيام بذلك، بالمناسبة، لأي أحد يرغب.

**...**لم تنتهِ هذه القصة بعد. لاستكمال الصورة، نذكر شخصًا آخر: كارلو بونومي، ملياردير إيطالي. تعرفت عليه خلال رحلة استكشافية في مثلث البحار (لكن هذه قصة أخرى تمامًا). كنا نبحر بسرعة عالية على يخته، الذي كان فاخرًا لدرجة تُشعرك بالذعر، بحثًا عن هرم مُغَرَق، أُشير إليه في أحد كتب تشارلز بيرليتز. لم نعثر على الهرم، وقلّ أن نُبتَعَد من قبل عدد كبير من الحيتان التي تعيش في تلك المناطق. إذا كان لديك خريطة، فالمكان الذي كان ينبغي أن يكون فيه الهرم الأطلسي الشهير هو جنوب غرب شاطئ يُدعى كاي سال بالك، على بعد خمسين ميلًا جنوب كوبا.

**...**بين نزولين وعشاء بروست من الكافيار، اقترحت على بونومي تمويل إنتاج مكثف لسطح بوي. أعجبه الاقتراح، وتمت متابعة الفكرة. نقول إن السطح الذي يُزيّن قاعة الرياضيات في قصر الاكتشاف في باريس دُفِع ثمنه من قبل بونومي، وتم إنجازه بواسطة سوزي. كان المُموّل يخطط لإقامة معرض، حيث يتم صنع القطع من ذهب خالص. لكن المشروع لم يُكمل. مُفاجأً بصمت طويل، اتصلت بمكاتب بونومي في ميلانو. للأسف، كان قد اُحتجز بسبب فضيحة "اللوجة P2"، وانخفض اهتمامه بالهندسة الطوبولوجية بشكل لا رجعة فيه.

**...**الغطاء المزدوج للسطح بوي، وهو صورة للمساحة المشروعية P²، هو كرة S² (انظر "التوبولوجيكون"). وقد بنى بugh هذا الغطاء باستخدام نسيجين من شبكة الدجاج، وهو عمل مُذهل من جميع النواحي، رغم أنني أفضّل شخصيًا السلك النحاسي والتمثيل بالخطوط الطولية والعرضية. لكن حتى في الرياضيات النقية:

• لا يُناقش في الذوق أو الألوان.

**...**قبل عرض المذكرة، قصة أخيرة. كان بugh قد بنى سبعة نماذج من شبكة الدجاج، مما جعله يحصل على جائزة كبيرة، تُظهر المراحل التسلسلية لعكس الكرة، والتي سنتناولها لاحقًا عندما أجد خمس دقائق لأضعها على الموقع، وقد تم تعليقها في سقف مطعم القسم الرياضي في جامعة بركلِي.

**...**لذا كان الرياضيون من جميع أنحاء العالم يزورونها كمُعَبّدٍ للاستمتاع بهذه التسلسلات الرائعة. لكن في ليلةٍ ما، سُرقت النماذج، ولا أحد يعرف ماذا أصبح بها، رغم أنها كانت غير قابلة للبيع تمامًا. من الذي سيقبل بصفقة كهذه؟ إلا إذا كان مُحِبٌ ثري، نصف فنان، نصف رياضي، قد تموّل العملية لتخزينها في مخزن محكم، لكي يصبح الوحيد الذي يستطيع النظر إلى هذه المعلمة الثامنة في العالم، ولو كانت مصنوعة من شبكة دجاج.

**...**رغم إتقان بugh للمادة، لم يمتلك الشجاعة لبدء سلسلة جديدة.

**...**كما ذكرنا سابقًا في بداية الموقع، لا يزال وجود ورنيير بوي نفسه غامضًا. بعد اختراعه للسطح الذي سيُربط اسمه به، اختفى فعليًا بعد مغادرته الجامعة. وعلى الرغم من جهود هيلبرت، لم يتمكن من العثور على أثره، ولا حتى من معرفة مكان دفنه.

**...**نعود إلى الرياضيات. المذكرة التالية سهلة القراءة نسبيًا. من خلال الصيغ من 1 إلى 8، يمكن لأي طالب ثانوي مُستيقظ أن يُنشئ صورًا جميلة جدًا، ويتحقق من أن المقاطع تتطابق مع الشكل 5.

مذكرات الأكاديمية الفرنسية للعلوم، باريس، المجلد 293 (5 أكتوبر 1981)، المجموعة 1 - 269
هندسة - تمثيل تحليلي لسطح بوي. مذكرة من جان-بيير بيتي وجيروم سوريو، عُرضت من قبل أندريه ليشنروفيتش.

يُقدّم تمثيلًا تحليليًا لسطح بوي، يسمح برسمه.

1. المقدمة.
**...**السطح الذي اخترعه الرياضي ورنيير بوي عام 1901، تلميذ هيلبرت، معروف جيدًا لدى الرياضيين. يمكن أن يُستخدم كخطوة مركزية في عملية عكس الكرة (انظر [1] و[2]).

**...**في عام 1979 (ج.ب. بيتي)، بنى نموذجًا مصنوعًا من سلك معدني، أبرز فيه المواقع التي يجب أن تشغلها الخطوط الطولية للسطح. وعمل آخر في عام 1980 بالتعاون مع النحات ماكس سوزي، سمح بإعادة بناء نموذج ثانٍ، حيث كانت المنحنيات في مستويات، وتشبه إلى حد كبير القطوع الناقصة. ومن هذا النموذج، بدا من الممكن بناء تمثيل تحليلي لسطح له نفس الطوبولوجيا لسطح بوي، وخطوط طولية على شكل قطوع ناقصة تمر بنقطة قطبية واحدة.

2. كيفية توليد سطح بوي باستخدام القطوع الناقصة.

**...**نضع القطب في موضع الأصل. في هذه النقطة، سيكون السطح مماسًا للمستوى (XOY). وبالتالي سيكون المحور OZ هو المحور الثلاثي للتماثل (انظر الشكل 1). وعليه، تكون الخطوط الطولية قطوعًا ناقصة في مستويات Pm. لنفترض أن OX1 هو التماس في المستوى XOY لمستوى Pm. نسمّي m الزاوية (OX, OX1). في هذا المستوى Pm، نضع محورًا ثانٍ OZ1 عموديًا على OX1. ونسمّي a الزاوية (OZ, OZ1).

الشكل 1 والشكل 2

**...**سيكون المعلمة الأولى في هذا التمثيل التحليلي هي الزاوية m. ونعتبر الزاوية a دالة في m (وسيتم تعريفها لاحقًا). في المستوى Pm، نرسم الآن قطعًا ناقصًا مماسًا عند النقطة O للخط OX1 (انظر الشكل 2). سنأخذ محاور هذا القطع الناقص موازية للمتّسّطات لـ X1OZ1. نسمّي A(m) وB(m) قيم المحورين لهذا القطع الناقص. سيُولَد هذا القطع الناقص Em بواسطة معلمة حرة ثانية q.

**...**بشكل موجز، نحصل على الإحداثيات X(m,q)، Y(m,q)، Z(m,q) للنقطة الحالية على السطح.

**...**في هذا النهج شبه التجريبي، ساعدت قياسات أجراها (ج.س.) على النموذج في التقدير الدقيق للدوال a(m)، A(m)، وB(m). ثم تم رسم السطح بالحاسوب (آبل-2)، وتم الحصول على مقاطع عند Z = ثابت. وفحص هذه المقاطع سمح بتحديد الهوية الطوبولوجية مع سطح بوي. لم يُستطع تحقيق ذلك إلا من خلال تجربة عددية (ج.س.) ساعدت في إزالة أزواج النقاط المفردة غير المرغوب فيها (ظهور أزواج من النقاط الحادة).

**...**تم التوصل إلى ما يلي: (1) A(m) = 10 + 1.41 × sin(6m - π/3) + 1.98 × sin(3m - π/6)
(2) B(m) = 10 + 1.41 × sin(6m - π/3) - 1.98 × sin(3m - π/6)
(3)

**...**في النظام X1 O Z1، تكون إحداثيات مركز القطع الناقص Em هي: (4)

(5)

**...**في نفس النظام، تكون إحداثيات النقطة الحالية على القطع الناقص: (6)

(7)

وإحداثيات x، y، z تعطى بواسطة:

(8)