تمثيل تحليلي لسطح بوي

f5101 تمثيل تحليلي لسطح بوي ج.ب. بيتي و ج. سوريو .

... فيما يلي إعادة طبع لمذكرة منشورة في مذكرات الأكاديمية الفرنسية للعلوم، موقعة من قبل ج.ب. بيتي وج. سوريو، وتاريخها 1981.

**...**لقد كان لهذا العمل قصة. حتى ظهور ألبومي "التوبولوجيكون" في دار النشر بيلين، ضمن سلسلة مغامرات أنسيلم لانتورلو، في عام 1985، كانت التمثيلات المرئية لسطح بوي في الكتب المتخصصة نادرة جدًا. وجدنا هنا وهناك صورًا لنماذج مصنوعة من الجبس أو من شبكة الدجاج. أما تشارلز بugh، من قسم الرياضيات في جامعة بركلِي، فهو الخبير العالمي غير المُنْكَر في مجال شبكات الدجاج. بل إنّه استخدم هذا المادة لصنع نماذج حازت على جائزة مالية كبيرة، تُصوّر عملية عكس الكرة حسب بيرنارد مورين، ثم تم تحويلها رقميًا بواسطة نيلسون ماكس لتصبح فيلمًا ينتشر في جميع أقسام الرياضيات حول العالم.

**...**لكنني أجد أن شبكة الدجاج لا تزال مادة غير راقية، خصوصًا في المواضيع العلمية ذات الطابع الرفيع. بعدما تعرفت على فنان برواز يُدعى ماكس سووز، بدأت أتقن تقنية السلك النحاسي، الذي يتميز بالمرونة والصلابة معًا، والذي كان ماكس يلحِّمُه بمهارة، ويتجنب تسخينه كثيرًا لئلا تنشأ فيه إجهادات غير مرغوب فيها.

**...**كان صديقي جاك بولييه، المعروف باسم فاسلين، أستاذًا في المدرسة الوطنية للفنون الجميلة بأكس في بروفانس. وفي أحد السنوات، اقترح عليّ أن أحل محل أحد أساتذته الذي سافر إلى الخارج، وهو ما قمت به، وعملت بدوام نصفي مع سووز. بينما كنت أبتكر القطع، كان ماكس يلحِّمها. كان طلابنا يدورون حولنا مُحَيَّرين، ويحاولون تقليدنا بأفضل ما يستطيعون. في تلك السنة، أصبحت جناح المدرسة الوطنية للفنون الجميلة بأكس في بروفانس نوعًا من المصانع الصناعية للقطع الرياضية.

**...**إذا أردت أن تبدأ، فالأمر ليس معقدًا. تحتاج فقط إلى لفّة من هذا السلك النحاسي، بقطر حوالي مليمتر ونصف كحد أقصى، ومقص حاد. وبهذا يمكنك تمثيل عائلتين من المنحنيات التي تشكل أي سطح.

**...**المشكلة تكمن في التماسك الصحيح لهذه القطع. ولتحقيق ذلك، من الجيد أن تتمكن من تمرير نقاط الربط، حيث يتقاطع "الدوائر العرضية" و"الدوائر الطولية". حل جيد هو ببساطة ربط السلكين المعدنيين معًا باستخدام خيط الخياطة. فهو كافٍ لمنح القطعة متانة، ولكنه يسمح بالانزلاق الكافي لإجراء التغيرات والتعديلات.

**...**فقط عندما تعتقد أن القطعة مطابقة رياضيًا لما تتمناه، يمكنك تسليمها إلى شخص يتقن استخدام لحام الفضة، ويعرف كيف يلصق دون تسخين الأعمدة، وهو ما كان ماكس يفعله ببراعة فائقة.

**...**في أحد الأيام، أحضرت نموذجًا أوليًا لسطح بوي، بعد أن اكتشفت كيفية ترتيب الدوائر الطولية والعرضية. يبدو أنه يمكن التحايل على الأمر بحيث تشبه الدوائر الطولية بشكل لا يُخطئها عائلة من القطوع المكافئة.

**...**أعاد ماكس نسخ القطعة بدقة. ثم ذهبت إلى سوريو. كان ابنه (الذي لم يكن ليملك الصبر الكافي لإكمال شهادة الفيزياء) يلعب بجهاز آبل 2 لوالده. فقلت له:

جيروم، هل ترغب في أن يكون لديك نشرة رياضية نقية باسمك؟
حسنًا، لماذا لا؟ من يجب أن أقتله لتحقيق ذلك؟
لا أحد. انظر إلى هذه القطعة. خذ مسطرة قياس، قس هذه القطوع المكافئة، وحاول أن تبني تمثيلًا شبه تجريبي لهذا السطح.
يمكننا المحاولة، أعطني...

**...**بعد يومين، كان الأمر قد تم. وتم قبول المقال بسرعة في مذكرات الأكاديمية الفرنسية للعلوم، ونُشر تحت أسمائنا: ج.ب. بيتي وج. سوريو.

**...**لكن بما أن الأب يُدعى جان ماري والابن جيروم، فإن جميع الرياضيين مقتنعون بأن هذا العمل تم بالفعل بالتعاون بين سوريو الأب وحدي.

**...**رسم السطح باستخدام الحاسوب، ببرنامج باسيك بسيط من بضع سطور، أثار دهشة عدد كبير من الرياضيين، الذين كانوا يتوقعون شيئًا أكثر تعقيدًا. وقد أدى هذا إلى تداعيات غير سارة. كان لدى الرياضي بيرنارد مورين طالب دكتوراه يُدعى أبيري، ابن أبيري الأب، المؤلف للنظرية الشهيرة التي تنص على أن مجموع مكعبات الأعداد الصحيحة هو عدد غير نسبي. من بين أمور أخرى...

**...**لم أكن أعلم بذلك. وقد أثارت تقدمنا قلقًا شديدًا لدى مورين، خاصةً عندما أخبرته ببساطة في ذلك الوقت أن هذه الطريقة يجب أن تسمح بوصف سطح بوي ذو الأذنين الأربعة الذي جعله مشهورًا، وهو السطح الذي بُنِي باستخدام شبكة الدجاج من قبل بugh، ثم تم تحويله رقميًا بواسطة ماكس، وهكذا...

فأومأ مورين برأسه:

لا، هذا مستحيل! ...

**...**سنرى ذلك لاحقًا. أبقى مقتنعًا بالعكس. لكن هذه الجملة كانت تشبه التصريح الشهير الذي أطلقه أرخميدس على الجندي الروماني الذي جاء ليُزعجه في تفكيره: "لا تلمس دوائرِي!"

بالتقريب: "لا تلمس دوائرَي!"

هنا، كان الأمر أكثر قربًا من: "لا تلمس مكعباتي!"

**...**في وقت لاحق، استخدم أبيري اكتشافي، وهو أن سطح بوي يمكن تمديده بنظام من الدوائر الطولية المكافئة، لبناء أول معادلة ضمنية للجسم:

f(x,y,z) = 0

**...**أثار غضب مورين رؤيته يظهر كشخص مُعَرِّض لأعماله الرياضية. ففرض على أبيري أن يوضح في أطروحته أن سووز هو من اخترع فكرة القطوع المكافئة. لم ينكر ماكس ذلك، لكنه غير صحيح. والدليل في صندوقي: النموذج الذي أحضرته إلى ماكس لصياغته بدقة.

**...**في النهاية، كل هذا يبدو سخيفًا إلى حدٍ ما. هذه القصة تهدف فقط إلى إظهار أن الرياضيين ليسوا أكثر ذكاءً من الفيزيائيين.

**...**المهندس البوليتكنيك كولونا، الرائد في مجال الصور المُصَنَّعة، استخدم معادلتنا كلها دون الإشارة إلى مصدرها. لكن هناك تفصيل ممتع: إذا رأيت على الشاشة صورًا لسطح بوي، وإذا كانت "صورتنا"، فستظهر بالتأكيد ثلاث طيات خفيفة بالقرب من قطبها. عيب في ضبط المعادلات. جيروم، ابن سوريو، قدّمها بشكل سريع، وكان من المفيد أن يُستخدم مكواة صغيرة بالقرب من القطب. لكن لا يزال بالإمكان إجراؤه، بالطبع، لأي أحد يرغب.

**...**لم تنتهِ هذه الرحلة حول سطح بوي بعد. لاستكمال الصورة، نذكر شخصًا آخر: كارلو بونومي، ملياردير إيطالي. تعرفت عليه خلال رحلة إلى مثلث البحيرات (لكن هذه قصة أخرى تمامًا). كنا حينها نسافر بسرعة عالية على يخته، الذي كان فاخرًا لدرجة تُبقيك مُذهولًا، في بحث عن هرم غارق، أشار إليه تشارلز بيرليتز في أحد كتبه. لم نعثر على الهرم، واقتربنا فقط من أن نُؤكل من قبل عدد كبير من الحيتان التي كانت تتسكع في تلك الأماكن. إذا كنت تملك خريطة، فالمكان الذي كان ينبغي أن يكون فيه هذا الهرم الأطلسي الملعون هو جنوب غرب شريط يُسمى كاي سال بالك، على بعد خمسين ميلًا جنوب كوبا.

**...**بين نزولين وعشاء بروتوكول من الحُبَّة، اقترحت على بونومي تمويل تصنيع كميات كبيرة من أسطح بوي. أعجبه الفكرة، واتخذت مسارًا. نقول إن السطح الذي يزين قاعة الرياضيات في قصر الاكتشاف في باريس قد تم تمويله من قبل بونومي وصنعه من قبل سووز. كان الممول يخطط لإقامة معرض، حيث يتم تصنيع القطع من سلك ذهب خالص. لكن المشروع لم يُكمل. مُفاجأً بصمت طويل، اتصلت بمكاتب بونومي في ميلانو. للأسف، كان قد اُحتجز بسبب فضيحة لوحة P2، وتأثر اهتمامه بالطوبولوجيا بشكل لا رجعة فيه.

**...**الغلاف المزدوج لسطح بوي، وهو تمثيل للمستوى المشروع P²، هو كرة S² (انظر إلى "التوبولوجيكون"). قام بugh ببناء هذا الغلاف باستخدام نسيجين من شبكة الدجاج، وهي قطعة مميزة في كل جوانبها، رغم أنني أفضّل شخصيًا السلك النحاسي والتمثيل بالدوائر الطولية والعرضية. لكن حتى في الرياضيات النقية:

لا يُناقش الذوق ولا الألوان.

**...**قبل عرض المذكرة، قصة أخيرة. كان بugh قد بنى سبعة نماذج من شبكة الدجاج، مما جعله يحصل على جائزة كبيرة، تُظهر الخطوات المتتالية لعكس الكرة، والتي سنتحدث عنها لاحقًا عندما أجد خمس دقائق لأضعها على الموقع، وكانت معلقة من سقف مطعم الجامعة في جامعة بركلِي.

**...**لذا كان الرياضيون من جميع أنحاء العالم يسافرون بزيارة روحية لمشاهدة هذه التسلسلات المذهلة. لكن ليلة واحدة، سُرقت النماذج، ولا أحد يعرف ماذا حدث لها، رغم أنها كانت غير قابلة للبيع تمامًا. من أين يمكن أن يقبل مُتَّخذٌ تجارةً كهذه؟ إلا إذا كان هناك هاوٍ ثري، نصف فنان، نصف رياضي، قد تموّل العملية لتخزينها في غرفة محصنة، وحده يشعر بالفرح من أن يكون الشخص الوحيد الذي يستطيع النظر إلى هذه المعلمة الثامنة في العالم، حتى لو كانت مصنوعة من شبكة دجاج.

**...**على الرغم من إتقانه للمواد، لم يمتلك بugh الشجاعة لبدء سلسلة جديدة.

**...**كما ذكرنا سابقًا في بداية الموقع، لا تزال حياة ورنيير بوي مُلغزة. بعد اختراعه للسطح الذي سيُربط اسمه به، اختفى فعليًا بعد مغادرته الجامعة. وعلى الرغم من جهود هيلبرت، لم يتمكن من العثور على أثر له، وحتى مكان دفنه غير معروف.

**...**نعود إلى الرياضيات. المذكرة التالية سهلة القراءة نسبيًا. من الصيغ 1 إلى 8، يمكن لأي طالب ثانوي مستيقظ أن يُنشئ صورًا جميلة جدًا ويتأكد من أن المقطعات تتطابق مع الشكل 5.

مذكرات الأكاديمية الفرنسية للعلوم، المجلد 293 (5 أكتوبر 1981)، المجموعة الأولى - 269
هندسة - تمثيل تحليلي لسطح بوي. مذكرة من جان بيير بيتي وجيروم سوريو، عرضت من قبل أندريه ليشنيروفيتش.

يُقدَّم تمثيل تحليلي لسطح بوي، يسمح برسم هذا السطح.

1. المقدمة.
**...**السطح الذي اخترعه الرياضي ورنيير بوي عام 1901، وهو تلميذ هيلبرت، معروف جيدًا بين الرياضيين. يمكن أن يُستخدم كخطوة مركزية في عملية عكس الكرة (انظر [1] و[2]).

**...**في عام 1979 (ج.ب. بيتي)، أنشأ نموذجًا من سلك معدني، أظهر فيه المواقع التي يجب أن تشغلها الخطوط الطولية للسطح. وبعد عمل ثانٍ في عام 1980 بالتعاون مع النحات ماكس سووز، تم إعادة بناء نموذج ثاني، حيث كانت المنحنيات موجودة في مستويات وتشبه القطوع المكافئة إلى حد كبير. ومن هذا النموذج، بدا من الممكن بناء تمثيل تحليلي لسطح له طوبولوجيا سطح بوي، ودوائر طولية على شكل قطوع مكافئة تمر بنقطة قطب واحدة.

2. كيف يُولد سطح بوي باستخدام القطوع المكافئة.

**...**نضع القطب في أصل الإحداثيات. سيكون السطح مماسًا في هذه النقطة للمستوى (XOY). وبالتالي سيكون المحور OZ هو المحور الثلاثي للتماثل (انظر الشكل 1). وعليه، تكون الخطوط الطولية قطوعًا مكافئة موجودة في مستويات Pm. لنفترض أن OX1 هي تقاطع المستوى Pm مع المستوى XOY. نُسمّي m الزاوية بين (OX, OX1). في هذا المستوى Pm، نضع محورًا ثانٍ OZ1 عموديًا على OX1. ونُسمّي a الزاوية بين (OZ, OZ1).

a5101

a5108

الشكل 1 والشكل 2

**...**سيكون المعلمة الأولى في هذا التمثيل التحليلي هي الزاوية m. وسنعتبر الزاوية a دالةً على m (وسيتم تعريفها لاحقًا). في المستوى Pm، نرسم الآن قطعًا مكافئًا مماسًا عند النقطة O للخط OX1 (انظر الشكل 2). ونأخذ محاور هذا القطع المكافئ موازية للمتّسِمات لزاوية X1OZ1. نُسمّي A(m) وB(m) قيم المحاور لهذا القطع المكافئ. وسيتم إنشاء هذا القطع Em بواسطة معلمة حرة ثانية q.

**...**بالتلخيص، سنحصل على الإحداثيات X(m,q)، Y(m,q)، Z(m,q) للنقطة الحالية على السطح.

**...**في هذه المقاربة شبه التجريبية، سمحت قياسات أجراها (ج.س.) على النموذج بتحقيق تقريب للدوال a(m)، A(m)، وB(m). ثم تم رسم السطح باستخدام حاسوب "آبل-2"، وتم الحصول على مقاطع عند Z = ثابت، وفحص هذه المقاطع ساعد في تحديد الهوية الطوبولوجية مع سطح بوي. لم يُستطع تحقيق ذلك إلا بعد تجربة رقمية (ج.س.) سمحت بحذف الأزواج غير المرغوب فيها من النقاط المفردة (ظهور أزواج من النقاط الحادة).

**...**لقد اخترنا ما يلي: (1) A(m) + 10 + 1.41 sin(6m - π/3) + 1.98 sin(3m - π/6)

(2) B(m) + 10 + 1.41 sin(6m - π/3) - 1.98 sin(3m - π/6)

(3)

**...**في النظام X1 O Z1، تكون إحداثيات مركز القطع المكافئ Em هي: (4)

a5104