العودة إلى هذه الفئة من التحولات الهوموتوبيّة للإدخالات (الإدخالات المُستَوِية) للحلقة في الفضاء الثلاثي الأبعاد ℝ³. يمكن بسهولة ربط الكائنين المبينين باستخدام تحويل "C". نأخذ حلقة ونُمرّرها عبر نفسها في مكان ما، مما يُنتج خطًا من النقاط المزدوجة الذي يشكل دائرة: 
وضعت "لونين": رماديًا للخارج، وأبيضًا للداخل. إذًا، التمرين المُتَّسِع (الذي يؤدي إلى أحد التوسعات اللامتناهية الممكنة للحلقة القياسية) يُظهر جزءًا أبيضًا من السطح.
ننظر إلى هذا الكائن من نقطة تقع على محور الحلقة:
في الأعلى، الجزء الداخلي (الأبيض) للحلقة الذي أظهره التمرين المُتَّسِع. يمكننا حينها تطبيق "تحويل C" وإنشاء نقطتين قمّيّتين: 
عند النقطة الموضّحة بالسهم، نُضيّق ممرًا. هذه العملية تُنتج نقطتين قمّيّتين C1 وC2:
ويمكننا نقل هاتين النقطتين كما يلي:
يُبقي علينا تطبيق تحويل C⁻¹ (اندماج نقطتين قمّيّتين):
نحصل على الكائن التالي: 
هذا الإدخال للحلقة هو هوموتوبيّ للحلقة القياسية.
نلاحظ أن التحويل "C" وعكسه "C⁻¹"، اللذين يوسعان فضاء الإدخالات إلى فضاء الانزلاقات السطحية في ℝ³، يمكنهما إنجاز أشياء مثيرة للاهتمام. يمكننا بناء جميع الانزلاقات للسطوح الكلاسيكية (الكرة، المستوى المشروع، الحلقة، وقارورة كلاين). كم عدد هذه الفئات؟
لقد رأينا أن الكرة والمُستوى المشروع ينتميان إلى نفس الفئة (كما ينتمي سطح بوي اليميني واليساري). كم عدد فئات الانزلاقات للحلقة؟ أعتقد، ما لم أكن مخطئًا، أن هذه المسألة لم تُحل بعد. هل يمكننا، باستخدام عمليات C، الانتقال من فئة إدخال للحلقة إلى أخرى؟ بشكلٍ تلقائي، أميل إلى الإجابة بعدم، لكن هذا مجرد فرضية.
لا يمكن لأي بناء أن يُثبت استحالة شيء، بل يُظهر إمكانية واقعية. إذا وُجد من يُقدّم بناءً يسمح بالقفز من فئة إلى أخرى، فإن النظرية ستُثبت تلقائيًا، لكن عدم العثور على مثل هذا البناء لا يُعد بحد ذاته إثباتًا. غياب البرهان ليس برهانًا على غياب. القول بأن هناك أربع فئات من انزلاقات الحلقة في ℝ³، أو أن هناك فئة واحدة فقط، هما كلاهما فرضيتان، مجرد معتقدات، في الحالة الحالية.
من الجدير بالذكر أن سمايل أثبت إمكانية عكس الكرة قبل أن يقدم فيليبس أول بناء له. كان يمكن أن يكون العكس هو الصحيح. ولكن من كان سيُفكر في إنجاز مثل هذا المشروع، الذي يتعارض تمامًا مع تصورنا الهندسي؟
يسمح التحويل C بتحويل الكرة إلى "القمة المتقاطعة"، ثم إلى سطح بوي، عبر سطح ستاينر الروماني. انظر المقال. هل يمكنه تحويل الحلقة إلى قارورة كلاين؟ منطقيًا نعم، لكنني لا أملك إجابة جاهزة لهذا السؤال.
بينما نحن في هذا السياق، لماذا نتحدث عن "المستوى المشروع"؟ الكائنات (المنحنية ذات الاتجاه الواحد) المُبينة منتهية. الجواب من سوريو:
- على مستوى ما، لدينا "الخط في اللانهاية". نُلصق هذا المستوى ببساطة وفق الخط في اللانهاية.
والذي، كما هو متوقع، هو منحنى مغلق.
في "التوبولوجيكون" نجد رسمًا متحركًا صغيرًا، "مُستندًا مُتَوَسِّعًا"، يُظهر كيف يمكن للشريط المُوبيوس ذو الثلاثة نصف لفات أن يتحول إلى سطح بوي. الصورة الأخيرة تُظهر هذا السطح، ناقص قرص. يكفي إضافة هذا القرص لاستكمال السطح. إذًا، سطح بوي هو شريط مُوبيوس زائد قرص. تدريب: باستخدام أدوات "التوبولوجيكون"، أعد حساب خاصية أويلر-بونكاريه لهذا السطح (التي تساوي 1).
بالعكس، يمكننا البدء بالقرص وجعله ينمو، مع التمرير الذاتي، حتى يلتصق بآخر شريط مُوبيوس ذو ثلاثة نصف لفات، وهو بناء آخر.
عثرت على الرسومات في العرض الذي قدمته في مؤتمر الطبّ النفسي اللاكانّي في أكس-أن-بروفانس (4 و5 أبريل 1987)، المخصص لـ"الانحراف"، والذي ورد في محضر الاجتماعات التي نشرها المنظمون. سأستخدم هذا النص في مستند مستقبلي بعنوان "JPP عند لاكان".
الصورة الأولى: القرص أثناء تشويهه.
فيما يلي، بداية إنشاء مجموعة التقاطع الذاتي:
الصورة التالية: ظهور النقطة الثلاثية:
أتوقف عن وضع الظلال، لأن السطح يقترب من أن يصبح ذات اتجاه واحد.
فيما يلي، السطح جاهز للالتصاق بنفسه، على طول حافته.
هنا، تم رسم الشريط المُوبيوس ذو الثلاثة نصف لفات، مكملًا للسطح:
الصورة التالية: نفس الشريط.
ثم السطح الكامل لبوي. لا يمكن القول، بالنظر إلى الصور المُقدّمة في التوبولوجيكون، "أننا نراه من الأسفل"، لأن سطح بوي ليس له رأس ولا ذيل. نقول فقط أن الشكل الذي يظهره يُظهر نُقطته الثلاثية.
فيما يلي، مجموعة التقاطع الذاتي: 
لقد رأيتم، أمام أعينكم، انعكاس المستوى على "خطه في اللانهاية". ولذلك يُسمّى "المستوى المشروع"، وهو اسم غريب في البداية. ربما تكون هذه أول مرة يُعرض فيها اللانهاية بهذا الاقتراب.
هذه الصور تم تجميعها منذ أكثر من عشرين عامًا، ويساعد هذا الموقع أو هذا قرص CD أخيرًا في عرضها. قد يتساءل القارئ لماذا لم تُنشر في "Pour la Science" أو "La Recherche". لم يكن ذلك بسبب عدم إرسال مقالات إلى هذه المجلات، لكن المحررين لم يجدوا الموضوع مثيرًا للاهتمام.
آمل أن تُسرعوا، باستخدام هذه "مُعدّات هندسية"، في اختراع العديد من الأسطح الجديدة. إليكم واحدة، اخترعها السيدة إيفارس. خذ كرة وادفع فيها قطعًا مستقيمة طولها متساوٍ في اتجاهين متقابلين، حتى يلمسا بعضهما، وتخيل أن هذه القطع ملصقة على قضيبين، كالتالي:
عندما تلمس القطع بعضها، يحدث "تدخل جراحي". لدينا تقاطع بين الأغشية على طول القطعة، ونقطتان قمّيتان عند كل طرف. فيما يلي، هذا السطح في مقطع:
نفس السطح من منظور ثلاثي الأبعاد:
بمجرد إعداد الأدوات...