مشاكل الجيوديسيات مشاكل الجيوديسيات.
تعرف أن ترسم جيوديسيات على سطح باستخدام شريط لاصق. السؤال: تحت أي شروط يمكن أن تتقاطع جيوديسيات مرسومة على مخروط؟
نأخذ نقطة على مخروط دوراني ونبدأ جيوديسيات في اتجاه عمودي على إحدى مولداته: 
ننظر إلى المولدة المتماثلة بالنسبة لمحور الدوران لهذا المخروط (يمكن دائمًا تشويه أي مخروط إلى مخروط دوراني دون تغيير رسم جيوديسياته). في الحالة الموضحة أعلاه، سيكون لدينا هذا الشكل عند وضع المخروط مسطحًا:
نعلم أن زاوية القطع تمثل كمية الانحناء الزاوي المركّز في رأس المخروط. تصبح الجيوديسيات حينها خطًا مستقيمًا في المستوى، لأن السطح قابل للتمدد.
نرى أن الجيوديسيات يمكن أن تتداخل فقط إذا كانت زاوية القطع أكبر من 180 درجة، أي أن يكون المخروط حادًا بما يكفي.
عند إعادة تشكيل المخروط، نحصل على:
هل يمكن أن تصل جيوديسيات المخروط إلى الرأس؟
فقط المولدات يمكنها ذلك. بغض النظر عن أي جيوديسيات نرسمها على المخروط، حتى لو كانت قريبة جدًا من الرأس، فإنها ستبتعد عنه دائمًا، حتى لو بدت وكأنها مرسومة لتقرب منه. يكفي ربط الرأس بالنقاط الأقرب إلى الجيوديسيات. فالمولدة ستقاطع الجيوديسيات بزاوية قائمة. يمكننا حينها قطع السطح وفق الجيوديسيات المقابلة وتمديده.
مهما كان المخروط حادًا، سنحصل فقط على تقاطعات متتالية.
هل يمكن أن تتداخل الجيوديسيات بشكل لا نهائي؟ عند تمديد المخروط، يبدو وكأن الجيوديسيات "تنعكس" على المولدة التي تربط الرأس بنقطة التقاطع.
في الصورة أعلاه، من الواضح أن "الانعكاس" يرسل جزأين من المولدة في اتجاهين لا يمكن أن يتقاطعا مجددًا. لكي نحصل على تداخلات متعددة، نحتاج إلى مخروط حاد جدًا.
لكن كل "انعكاس" يفتح الزاوية تدريجيًا، وينتهي بحبسها داخل القطاع 2π - q. عدد التداخلات منتهٍ.
المولدات للمخروط تمثل عائلة خاصة جدًا. لكن ما المقصود بـ "المخروط"؟
يمكننا اعتبار أن الشكل "المخروط" يتوافق مع الرسم أدناه، الشكل الأيسر. في هذه الحالة، تكون الجيوديسيات-المولدات نصف خطوط مستقيمة.
لكن يمكننا اعتبار أن المخروط يتوافق مع الشكل الأيمن. في هذه الحالة، ماذا نعني بـ "الجيوديسيات"؟ إذا كانت أقصر مسار يربط نقطتين، فقد نحصل على حالات من هذا القبيل:
يمكننا اختيار بنية مخروطية حيث تمتد كل مولدة إلى مولدة ثانية موجودة في النصف الثاني من المخروط، وحدها، مكونة مجموعة مستمرة. يمكننا تصور نقاط مخروطية في فضاء ثلاثي الأبعاد (انظر المقال 11 في الفيزياء الهندسية A).
أنواع أخرى من التناظرات.
النقاط الحادة هي نقاط مميزة. يمكننا تحديد أنواع أخرى. على سبيل المثال، "النقاط المخروطية"، حيث تكون نقاط الانعطاف على السطح، "نقاط التموج".
على اليسار: كرة مزودة بنقطة مخروطية. على اليمين: نقطة تموج.
نخلق نقطة مخروطية باستخدام مثقاب. يمكننا تسمية التغيير "خلق نقطة مخروطية" بـ P، وعكسه بـ P⁻¹.
وبالمثل، خلق نقطة تموج يعادل التغيير H. في الواقع، يسبق خلق تموج خلق النقطة المخروطية. إنها نقطة مخروطية أصبح زاويتها عند الرأس صفرًا. إذًا، التغيير الذي يؤدي إلى تموج محلي على السطح هو P H، وعكسه هو H⁻¹P⁻¹.
توجد طرق أخرى لتعديل السطح، مثلاً بإنشاء زاوية ثنائية. إنشاء الزاوية الثنائية يُسمى التغيير D. يمكن تنفيذ هذا التغيير بشكل مستقل عن أي تغيير آخر، بشرط أن ينطبق على مسار مغلق (على سطح منتظم). أبسط مثال هو الكرة. يمكننا إنشاء "طية" على خط الاستواء، مثلاً. أثناء ذلك، تحتوي الطية على "انحناء خطي"، موضوع تم بالفعل معالجته في المقدمة من الفيزياء الهندسية A.
إذا كان هذا التغيير يطال قطعة مستقيمة على سطح منتظم، فإن كلا الطرفين سيخضعان لتعديل P.
نأخذ كرة، كرة "لينة" قابلة للتشوه. نضع داخلها قطعة، مسطرة صلبة، ونضغط على الكرة. تبدأ طرفي المسطرة بالاتصال بالسطح. التأثير "المثقاب": ظهور نقط مخروطية صغيرة. نستمر في الضغط. تصل القطعة إلى اتصال بالكرة، لكن الزاوية الثنائية لا تتشكل بعد. إذا كانت ملامسة للكرة، فهذا يعني فقط أن هناك مسارًا مستقيمًا AB على الكرة. لكن هذا لا يعني تلقائيًا أن الكرة لديها طية. يمكن مقارنة هذا بتركيب خيمة رحلات، باستخدام عمودين. نضع العمودين
تأثير التغييرين P. إنشاء نقطتين مخروطيتين A وB.
ثم نمد سلكًا يربط بينهما. لكن إذا كان داخل الخيمة فارغًا، فإن القماش لن يتدلى حول السلك ليشكل طية.
شد السلك: يكتسب السطح قطعة مستقيمة AB. لكن إذا توقف الرياح وانخفض الضغط قليلاً، فإن جدران الخيمة ستسقط تحت وزنها. بمجرد بدء الحركة، ينقطع التماسك للمستوى المماس. تظهر الزاوية الثنائية. التغيير D.
ما فائدة ذلك؟
قبل الانتقال إلى التطبيقات العملية، يجب تحديد تغيير آخر. تخيل مخروطًا: له نقطة مخروطية تتركز فيها "الانحناء الزاوي". إذا لم تكن هذه النقطة جزءًا من "مخروط حقيقي" لا يحتوي على انحناء على جانبيه، فإن السطح يشبه المخروط عند مسافة صغيرة من النقطة المخروطية. وهذا يعني أن هناك "مخروطًا مماسًا" عند كل نقطة مخروطية على السطح.
لكن لنعد إلى مخروطنا. يمكننا بسهولة جدًا جعل نقطتين مخروطيتين متجاورتين. يمكننا حتى بناء سطح مادي من هذا النوع، من خلال قطعين محفورين في مستوى:
الخطوط التي تخرج من A وB هي ببساطة "خياطات..."