تمثيل متعدد الوجوه لنقطة حادة، حساب انحنائها المركّزة.
تمثيلات متعددة الوجوه لأسطوانات مختلفة.
تبادل نقاط الحواف الحادة لسطح "كروسكاب".
تحويل سطح بوي "اليميني" إلى سطح بوي "اليساري"، عبر سطح ستاينر الروماني.
انعكاس "اليمين-اليسار" لسطح بوي.
جان بيار بيت
المدير الباحث في CNRS
1988-1999
الملخص:
نعرض بعض العناصر التي تسمح بتمثيل نقاط انحناء مركّزة: "بوزيكونات"، "نيغاكونات"، ونماذجها المتعددة الوجوه: "بوزيكونات" و"نيغاكونات"، التي تسمح ببناء تمثيلات متعددة الوجوه لأسطوانات مختلفة، واسترجاع انحنائها الكلي. وبهذا الشكل، تتكون التمثيلات المتعددة الوجوه لسطح ستاينر الروماني من أربع مكعبات متصلة بجوانبها، مما يجعله أكثر وضوحًا. وقد تم بالفعل تقديم تمثيل متعدد الوجوه لسطح بوي في كتاب "توبولوجيكون"، 1985، دار النشر بيلين، الصفحات 48 و49، على شكل قطع قابلة للتركيب. كما ظهرت على الصفحة 46 تمثيلات متعددة الوجوه للحلقة وعُلبة كلاين. ويُقدَّم هنا تمثيلات متعددة الوجوه لسطح "كروسكاب". انحناء السطوح المختلفة لانغماس المستوى المشروع في R³: سطح بوي، كروسكاب، سطح ستاينر الروماني، يساوي 2π. يسمح التمثيل المتعدد الوجوه للنقاط الحادة، المُعتبرة نقاط انحناء مركّزة، بحساب هذا الانحناء بسهولة كبيرة. يظهر سطح كروسكاب، وسطح ستاينر الروماني، وسطح بوي كـ"وجوه متعددة" لجسم واحد: المستوى المشروع. وبما أن هذا لا يبدو واضحًا من النظرة الأولى، نبني تحولات هندسية تسمح بالانتقال من أحد هذه الأشكال إلى الآخر. نبدأ من كروسكاب، ونحوّله إلى سطح ستاينر الروماني عن طريق إضافة نقطتين حادتين إضافيتين (أي نُطبّق، في هذا الاتجاه، التغيير العام "الخلق والانقراض للنقاط الحادة")، ثم نحوّل سطح ستاينر إلى سطح بوي عن طريق انصهار أزواج من النقاط الحادة. وبشكل جانبي، وباستخدام حقيقة أن التثبيت القياسي للكرة يمكن تحويله إلى تثبيته المعاكس (انقلاب الكرة)، نُظهر أن نقطتين حادتين في كروسكاب يمكن تبادلهما عبر سلسلة من الانغماسات، حيث تُظهر التحولات أن هاتين النقطتين متكافئتان.
مقدمة:
سيجد القارئ هنا عناصر عامة موجودة أيضًا في المقدمة من كتاب "الفيزياء الهندسية أ" (تعريفات البوزيكونات، النيغاكونات، إلخ). إذا رغب في تخطي هذا الجزء، يكفي أن:
انقر هنا
.
إذا رُسِم على مستوى مثلث مكوّن من أضلاع مستقيمة، فإن مجموع الزوايا عند الرؤوس يساوي π. يمكن الحصول على هذه المستقيمات على المستوى بطريقة مختلفة: عن طريق لصق شرائط من شريط لاصق عادي على السطح دون إحداث طيات. نُسمّي هذه المسارات على المستوى "المسارات الجيوديسية". يمكن رسم منحنيات جيوديسية على أي سطح باستخدام هذا الأسلوب، مثلاً على جناح سيارة أو على غطاء المحرك.
الشكل 1: مثلث يُنظر إليه كمجموعة من ثلاث جيوديسيات من المستوى
البوزيكونات والنيغاكونات
نُجري قطعًا في مستوى، ثم نلصق الحواف المتقابلة، ثم نرسم مثلثًا باستخدام شريط لاصق، مكوّن من ثلاث جيوديسيات من هذا المخروط.
الشكل 2: بناء البوزيكون.
عند فصل الشقين على السطح وفقًا للقطع السابق (الشكل 3)، سيُدرك بسهولة، باستخدام مسطرة زوايا، أن مجموع الزوايا A، B، وC يساوي:
π + الزاوية الناتجة عن القطع α. هذا الانحراف عن المجموع الإقليدي يُسمّى الانحناء، ونقول إن المثلث "يحتوي" كمية معينة من الانحناء الزاوي α. سيكون هذا الانحراف نفسه بغض النظر عن المثلث، طالما يحتوي على رأس المخروط. أما إذا لم يحتوِه، فإن المجموع سيكون π. ونقول إن الانحناء مركّز عند الرأس M للمخروط، وهو إذًا "نقطة انحناء مركّزة". وبما أن مجموع الزوايا أكبر من المجموع الإقليدي، نقول إن هذا الانحناء موجب. وبالتالي، سيكون المستوى في هذه الرؤية سطحًا بانحناء صفر.
الشكل 3: فتح البوزيكون بشكل مسطح.
هذا الانحناء جمعي. إذا لصقت عدة من هذه المخاريط معاً، متناظرة مع زوايا α، β، γ، فيمكنك رسم أنواع مختلفة من المثلثات المكوّنة من أقواس جيوديسية. إذا احتوى المثلث على ثلاث نقاط متناظرة لانحناءات مركّزة قيمتها α، β، γ، فإن مجموع زواياه عند الرؤوس سيكون:
π + α + β + γ.
يمكن النظر إلى سطح بانحناء موجب ككرة، مكوّنة من عدد لا نهائي من "البوزيكونات". بدلًا من أن يكون الانحناء مركّزًا في نقاط مختلفة، سيكون موزعًا بشكل موحد على كامل السطح. ونقول إن الكرة سطح "بانحناء ثابت" (أو بـ"كثافة انحناء زاوي ثابتة").
الشكل 4: مثلث مكوّن من ثلاث أقواس جيوديسية.
على الكرة، تكون الجيوديسيات "دوائر كبيرة". يُعد خط الاستواء والمناسيب دوائر كبيرة، وهي أقواس جيوديسية للكرة. لكنك لن تتمكن من إنشاء دائرة موازية باستخدام شريط لاصق. الدوائر الموازية ليست جيوديسيات للكرة. يعتمد مجموع الزوايا عند الرؤوس لمثلث مرسوم على الكرة على النسبة بين مساحة المثلث ومساحة الكرة. سيكون مجموع زوايا مثلث صغير جدًا قريبًا جدًا من π.
مثلث مساحته ثمن مساحة الكرة سيكون له مجموع زوايا:
A + B + C = 2π
يمكن اعتبار دائرة كبيرة على الكرة كـ"مثلث"، بشرط وضع الرؤوس الثلاثة... في أي مكان على هذه الدائرة. سيكون المجموع A + B + C = 3π. ويشمل نصف مساحة الكرة.
ما هو الحد الأقصى للانحراف؟ لا يمكن القول "نُكبر المثلث" بتجاوز هذه الدائرة الكبيرة، لأن ما بعد هذه الدائرة تقلّ طول الأقواس الجيوديسية المكونة لأضلاعه، بل قد تقترب من الصفر.
عندما يُحيط المثلث بجميع أسطح الكرة، نحصل على:
A + B + C = 5π = π + 4π
نقول إن الانحناء الكلي للكرة يساوي 4π.
الشكل 5: مجموع الزوايا. مثلث مكوّن من أقواس جيوديسية للكرة.
الكمية من الانحناء المحتواة في مثلث تتوافق مع قاعدة الثلاثة البسيطة:
الآن سنقوم بإنشاء "نيغاكون"، عن طريق إدخال قطعة زاوية α في مستوى، كما هو موضح في الشكل 6.
الشكل 6: "نيغاكون"
عندما نزيل القطعة الزاوية، نحصل على ما يلي:
الشكل 7: فتح النيغاكون بشكل مسطح.
مجموع زوايا المثلث هو A + B + C = π - α
نقول إن هذا السطح هو "نيغاكون" يمتلك "نقطة انحناء مركّزة سالبة". هذا الانحناء أيضًا جمعي. من خلال تكوين سطح باستخدام تجميعات صغيرة من البوزيكونات والنيغاكونات، يمكن إنشاء سطح يكون فيه الانحناء المحلي أي قيمة.
الشكل 7 هو سطح بانحناء سالب موزع. نقول أيضًا إن هذا السطح يمتلك، في كل نقطة، "كثافة انحناء" (زاوية). والانحراف (السالب) بالنسبة للقيمة الإقليدية لمجموع الزوايا يعتمد هنا أيضًا على مساحة المثلث. كلما كانت المساحة أصغر، كلما اقترب المجموع من π.