نعود إلى هذه الفئة من التماثلات للإدخالات (الإدراج) لحلقة الدوران في الفضاء الثلاثي الأبعاد. يمكننا بسهولة ربط الكائنين الموضحين باستخدام تحويل "C". نأخذ حلقة الدوران ونُمرّرها عبر نفسها في مكان ما، مما يخلق خطًا من النقاط المزدوجة، وهو دائرة:
وضعت "لونين": رماديًا للخارج، وأبيضًا للداخل. إذًا، التماثل الذاتي المذكور أعلاه (الذي يؤدي إلى إحدى اللانهايات من الإدخالات الممكنة للحلقة القياسية) يُظهر جزءًا أبيضًا من السطح.
لننظر إلى هذا الكائن من نقطة تقع على محور الحلقة:
في الأعلى، الجزء الداخلي (الأبيض) للحلقة الذي أظهره التماثل الذاتي. يمكننا حينها تنفيذ تحويل "C" وإنشاء نقطتين قمّيتين.
عند النقطة الموضحة بالسهم، نضيّق مسارًا. هذه العملية تُنشئ نقطتين قمّيتين C1 وC2:
يمكننا نقل هاتين النقطتين كما يلي:
ما تبقى الآن هو تنفيذ تحويل C⁻¹ (اندماج النقطتين القمّيتين):
نحصل على الكائن التالي:
هذا الإدخال للحلقة متماثل بتماثل من الدرجة (Homotopy) مع الحلقة القياسية.
نلاحظ أن هذه العملية "C" وعكسها "C⁻¹"، التي تمتد لتوسيع فضاء الإدخالات إلى فضاء التمدد السطحي في R³، تتيح لنا إنجاز أشياء مثيرة للاهتمام. يمكننا بناء مجموعة التمددات للسطوح الكلاسيكية (الكرة، المستوي المشروع، الحلقة، وعُلبة كلاين). كم عدد هذه الفئات؟
لقد رأينا أن الكرة والمستوي المشروع ينتميان إلى فئة واحدة (كما ينتمي السطح البوّي الأيمن واليسار). كم عدد فئات التمدد للحلقة؟ أعتقد، ما لم أكن مخطئًا، أن هذه المسألة لم تُحل بعد. هل يمكننا، باستخدام عمليات C، الانتقال من فئة إدخال واحدة للحلقة إلى أخرى؟ بشكل مبدئي، أميل إلى الرد بعدم، لكن هذا مجرد
تخمين.
لا يمكن لأي بناء أن يثبت استحالة شيء ما، بل يمكنه فقط توضيح إمكانية وجوده. إذا وجد أحد ما بناءً يسمح بالقفز من فئة إلى أخرى، فسيُثبت النظرية فعليًا، لكن عدم العثور على مثل هذا البناء لا يُعد دليلًا على الاستحالة. غياب البرهان ليس برهانًا على الغياب. القول بأن هناك أربع فئات لتمدد الحلقة في R³، أو أن هناك فئة واحدة فقط، هما مجرد
تخمينان
، مجرد اعتقادات، في الوقت الراهن.
يُعرف أن سمايل أثبت إمكانية عكس الكرة قبل أن يقدم فليبيس أول بناء له. كان من الممكن أن يكون العكس هو الصحيح. لكن من كان سيأتي بفكرة إنجاز مثل هذا المشروع، الذي يتعارض تمامًا مع إدراكنا الهندسي؟
يُمكّننا التحويل C من تحويل الكرة إلى "القمة المتقاطعة"، ثم إلى سطح بوي، عبر سطح ستاينر الروماني. انظر المقال. هل يمكنه تحويل الحلقة إلى عُلبة كلاين؟ من الناحية المنطقية، نعم، لكنني لا أملك الإجابة الجاهزة لهذا السؤال.
بينما نتحدث، لماذا نتحدث عن "المستوي المشروع"؟ فالكائنات (الأحادية الجانب) الموضحة هي كائنات منتهية. الجواب من سوريو:
- على مستوى نضع "الخط اللانهائي". نلصق هذا المستوى ببساطة وفق الخط اللانهائي.
والذي، كما هو معلوم، هو منحنى مغلق.
في "التوبولوجيكون" نجد رسمًا متحركًا صغيرًا، "مُلصقًا"، يوضح كيف يمكن تحويل شريط موبيوس بثلاثة نصف دورات إلى سطح بوي. تُظهر الصورة الأخيرة هذا السطح، ناقص قرص. يكفي إضافة هذا القرص لاستكمال السطح. إذًا، سطح بوي هو شريط موبيوس زائد قرص. تدريب: باستخدام أدوات "التوبولوجيكون"، أعد حساب خاصية أويلر-بونكاريه لهذا السطح (التي تساوي 1).
بالعكس، يمكننا البدء بالقرص وجعله ينمو، مع التماثل الذاتي، حتى يلتصق بذاته على شريط موبيوس بثلاثة نصف دورات، وهو بناء آخر.
عثرت على الرسومات في العرض الذي قدمته في مؤتمر بسيكواناليسيس لكان في أكس-أن-بروفانس (4 و5 أبريل 1987)، المخصص لـ"الانحراف"، والذي ورد في محضر الاجتماعات التي أعدتها لجنة التنظيم. سأستخدم هذا النص في وثيقة مستقبلية بعنوان "JPP عند كان".
الصورة الأولى: القرص أثناء تشوهه.
فيما يلي، بداية إنشاء مجموعة التقاطع الذاتي:
الصورة التالية: ظهور النقطة الثلاثية:
أتوقف عن استخدام التظليل، لأن السطح يقترب من أن يصبح أحادي الجانب.
فيما يلي، السطح جاهز للالتصاق بنفسه على طول حدوده:
هنا، تم عرض شريط موبيوس بثلاثة نصف دورات، مكملًا للسطح:
الصورة التالية: نفس الشريط.
ثم السطح الكامل لـ"بوي". لا يمكننا القول، بالنظر إلى الصور المقدمة في "التوبولوجيكون"، "أننا نراه من الأسفل"، لأن سطح بوي ليس له رأس ولا ذيل. نقول فقط أنه، كما يظهر، نرى فيه النقطة الثلاثية.
فيما يلي، مجموعة التقاطع الذاتي:
لقد رأيتم، أمام أعينكم، انعكاس المستوى على "خطه اللانهائي". ومن هنا جاء اسمه: "المستوي المشروع"، غريب بعض الشيء في البداية. ربما تكون هذه أول مرة يُعرض فيها اللانهاية للناس بهذه القربة.
لقد تم تكوين هذه الصور منذ أكثر من عشرين عامًا، ويسّر هذا الموقع أو هذا القرص المدمج أخيرًا إمكانية عرضها. قد يتساءل القارئ لماذا لم تُنشر في "لعلم" أو "البحث". لم يكن ذلك لعدم محاولة إرسال مقالات إلى هذه المجلات، لكن المحررين لم يجدوا الموضوع مثيرًا للاهتمام.
آمل أن تُسرعوا، باستخدام هذه "الأداة الهندسية"، في اختراع عدد كبير من الأسطح الجديدة. إليكم واحدة، اخترعتها السيدة إيفارس. خذ كرة وادفع فيها قطعتين مستقيمتين باتجاهين متقابلين، بطول متساوٍ، حتى يلمسا بعضهما، وتخيل أن كل منهما ملحوم على قضيبين، كما يلي:
عندما تصل القطع إلى اللمس، يحدث "تدخل جراحي". لدينا تقاطع في الأغشية، على طول القطعة، ونقطتان قمّيتان عند كل طرف. فيما يلي، هذا السطح في مقطع:
نفس الشكل من منظور ثلاثي الأبعاد:
في مخزون الأدوات لصنع الأسطح، "عنصر صناعي للسباكة":
عندما يُدخل سائل عبر فتحة تُستخدم كمُدخل، يخرج من الخارج عبر أنبوب المخرج. لكن يمكن استخدام المخرج كمُدخل. النتيجة تكون متماثلة. إذًا، الكائن هو نوع من العمليات الهندسية التي تحوّل الخارجي إلى داخلي.
عندما نُغلق هذا "الوصلة" على نفسها، نحصل على عُلبة كلاين:
لكن ها هو تركيب آخر:
نفس التركيب من منظور ثلاثي الأبعاد:
السطح يصبح حينها ثنائي الجانب. ما هو هذا السطح؟
بواسطة تماثل منتظم، سلسلة متواصلة من الإدخالات، نحوّله إلى هذا الشكل:
هل تعرفونه؟ إنه صندوق مزود بمقصورة، لكن لا يمكن فتحه من الخارج. يمكننا حينها تغيير شكله. يكفي إدخال حبل عبر الفتحة، ثم سحبه نحو الداخل:
النتيجة هي:
إنه حلقة.
الآن، تَعَلّموا أن تتعاملوا مع التركيب التالي:
مصنوع من ثلاث من هذه "الوصلات".
سنرى في ورقة أخرى فائدة هذه "الوصلات" في حالة عكس الكرة.