مشاكل في الخطوط الجيوديسية.
أنت تعرف كيف ترسم خطوط جيوديسية على سطح باستخدام شريط لاصق. السؤال: تحت أي شروط يمكن أن تتقاطع خط جيوديسي مرسوم على مخروط مع نفسه؟
لنأخذ نقطة على مخروط دوراني ونبدأ خطًا جيوديسيًا في اتجاه عمودي على إحدى مولداته:
ننظر إلى المولدة المتماثلة بالنسبة لمحور الدوران لهذا المخروط (يمكن دائمًا تشوه أي مخروط ليصبح مخروطًا دورانيًا دون تغيير رسم خطوطه الجيوديسية). في الحالة الموضحة أعلاه، سنحصل على الشكل التالي عند وضع المخروط مسطحًا:
نعلم أن زاوية القطع تمثل كمية الانحناء الزاوي المركّز في رأس المخروط. وعندئذ، يتحول الخط الجيوديسي إلى خط مستقيم في المستوى، لأن السطح قابل للتمدد.
نلاحظ أنه لكي يمكن لخط جيوديسي أن يتقاطع مع نفسه، يجب أن تكون زاوية القطع أكبر من 180 درجة، أي أن يكون المخروط حادًا بدرجة كافية.
عند إعادة تشكيل المخروط، نحصل على:
هل يمكن لخط جيوديسي على مخروط أن "يصل إلى الرأس"؟
فقط المولدات يمكنها ذلك. بغض النظر عن الخط الجيوديسي المرسوم على المخروط، حتى لو كان قريبًا جدًا من الرأس، فإنه لن يستطيع الاقتراب منه، حتى لو بدا أنه مرسوم ليعمل ذلك. يكفي ربط الرأس بالنقاط الأقرب إلى هذا الخط الجيوديسي. فالمولدة ستقاطع الخط الجيوديسي بزاوية قائمة. ويمكننا إجراء قطع حسب الخط الجيوديسي المقابل ووضع السطح مسطحًا.
مهما كان حادًا المخروط، فلن نحصل إلا على تقاطعات متتالية.
هل يمكن أن تتداخل الخطوط الجيوديسية بشكل غير محدود؟ عند تسطيح المخروط، يبدو وكأن الخط الجيوديسي "يُرتد" على المولدة التي تربط الرأس بنقطة التقاطع.
في الصورة أعلاه، من الواضح أن "الارتداد" يرسل جزأين من المولدة في اتجاهين لا يمكنهما التقاءً لاحقًا. لوجود عدة تقاطعات، يجب أن يكون المخروط حادًا جدًا.
لكن مع كل "ارتداد"، تزداد الزاوية وتفتح إلى أن تُحبس أخيرًا داخل القطاع 2π - q. وبالتالي، عدد التقاطعات منتهٍ.
المولدات على المخروط تشكل عائلة خاصة جدًا. لكن ما المقصود بـ "المخروط"؟
يمكننا اعتبار أن الشكل "المخروط" يتوافق مع الشكل الموضح على اليسار. وفي هذه الحالة، تكون الخطوط الجيوديسية-المولدات نصف خطوط مستقيمة.
لكن يمكننا أيضًا اعتبار أن المخروط يتوافق مع الشكل على اليمين. وفي هذه الحالة، ما هو المقصود بالخط الجيوديسي؟ إذا كان أقصر مسار يربط نقطتين، فقد نصل إلى حالات من هذا النوع:
يمكننا اختيار هيكل مخروطي بحيث تستمر كل مولدة باتجاه مولدة ثانية موجودة على النصف المخروطي الثاني، وحدها، مكونة مجموعة مستمرة. يمكننا تصور نقاط مخروطية في فضاء ثلاثي الأبعاد (انظر المقال 11 في "الفيزياء الهندسية A").
أنواع أخرى من التفردات.
النقاط الحادة هي نقاط تفرد. يمكننا اكتشاف أنواع أخرى. على سبيل المثال، "النقاط المخروطية"، حيث تكون نقاط الانعطاف على السطح، "نقاط التماسك".
على اليسار: كرة مزودة بنقطة مخروطية. على اليمين: بنقطة تماسك.
نخلق نقطة مخروطية باستخدام مثقاب. يمكننا تسمية التغيير "خلق نقطة مخروطية" بـ P، وعكسه بـ P⁻¹.
وبالمثل، فإن خلق نقطة تماسك يتوافق مع التغيير H. في الواقع، يسبق خلق نقطة التماسك خلق النقطة المخروطية. إنها نقطة مخروطية أصبح زاويتها عند الرأس صفرًا. وبالتالي، التغيير الذي يؤدي إلى تماسك سطح محلي هو P H، وعكسه: H⁻¹ P⁻¹.
هناك طرق أخرى لتعديل السطح، مثل إنشاء زاوية ثنائية. إنشاء الزاوية الثنائية هو التغيير D. يمكن تنفيذ هذا التغيير بشكل مستقل عن أي تغيير آخر، بشرط أن يكون مرتبطًا بمسار مغلق (على سطح منتظم). أبسط مثال هو الكرة. يمكننا إنشاء "طية" على طول خط الاستواء، على سبيل المثال. أثناء ذلك، ستحتوي الطية على "انحناء خطي"، موضوع تم التطرق إليه سابقًا في المقدمة من "الفيزياء الهندسية A".
إذا كان هذا التغيير في سطح منتظم يمسّ قطعة مستقيمة، فإن كل طرف من طرفيها سيتعرض لتغيير P.
لنأخذ كرة، كرة "لينة" قابلة للتشوه. لنضع أنفسنا داخلها مع قطعة مستقيمة، مسطرة صلبة، ونضغط على الكرة. تبدأ طرفي المسطرة بالاتصال بالسطح. التأثير "المثقاب": ظهور نقط مخروطية صغيرة. نستمر في الضغط. تصل القطعة إلى اتصال بالكرة، لكن الزاوية الثنائية لا تتشكل بعد. إذا كانت القطعة في اتصال بالكرة، فهذا يعني فقط أن هناك مسارًا مستقيمًا AB على الكرة. لكن هذا لا يعني تلقائيًا أن الكرة لديها طية. يمكن مقارنة ذلك بتركيب خيمة مخيم باستخدام مقطعين. نضع المقطعين
تأثير التغييرين P: إنشاء نقطتين مخروطيتين A وB.
ثم نتوسع حبلًا يربط بينهما. لكن إذا كان الداخل خاليًا من الضغط، فإن القماش لن يتدلى حول الحبل ليشكل طية.
شد الحبل: يكتسب السطح قطعة مستقيمة AB. لكن إذا هبّ الريح وارتفع الضغط داخل الخيمة قليلاً، يمكن للجوار حول القطعة الحفاظ على استمرارية المستوى المماس، كما يظهر من منظور مختلف للخيمة.
إذا توقف الريح، ستسقط جدران الخيمة تحت وزنها. بمجرد بدء الحركة، تُكسر استمرارية المستوى المماس. تظهر الزاوية الثنائية. التغيير D.
ما فائدة ذلك؟
قبل الانتقال إلى التطبيقات العملية، يجب تعريف تغيير آخر. تخيل مخروطًا: له نقطة مخروطية تتركز فيها "الانحناء الزاوي". إذا لم تكن هذه النقطة جزءًا من "مخروط حقيقي" لا يحتوي على انحناء على جانبيه، فإن السطح يشبه المخروط على بعد صغير من النقطة المخروطية. وهذا يعني أن هناك "مخروطًا مماسًا" عند نقطة مخروطية على السطح.
لكن لنعد إلى مخروطنا. يمكننا بسهولة جعل نقطتين مخروطيتين متجاورتين. يمكننا حتى بناء سطح مادي من هذا النوع، من قطعتين مقطوعتين من مستوى:
الخطوط التي تخرج من A وB هي مجرد "خياطات" أو "لصق". يمكننا إزالتها:
يمكننا جعل النقط المخروطية تتلاقى، في هذه الحالة يتحول هذا "المخروط المزدوج" إلى مخروط واحد، يحتوي رأسه على كمية انحناء زاوي يساوي مجموع الانحناءات المركّزة في النقطتين المخروطيتين اللتين تم دمجهما.
q₁ + q₂
وبالتالي، يمكننا التفكير في تغيير جديد: "اندماج النقط المخروطية":
ConfP
مع عكسه:
(ConfP)⁻¹
الآن خذ كرة وادفع إليها ثمانية أجزاء مستقيمة. سيؤدي ذلك إلى إنشاء ثمانية زوايا ثنائية وستة عشر نقطة مخروطية. يمكننا بعد ذلك دمج النقط المخروطية زوجًا زوجًا ونحصل على... مكعبًا.
لدينا الآن القدرة على تحويل كرة إلى مكعب والعكس. وبالمثل، سيُساعِدنا هذا في بناء تمثيلات متعددة الوجوه للسطوح. وبما أننا فعلنا ذلك، "نفخ" المكعب، تمامًا كما فعلنا مع قماش الخيمة سابقًا:
الحواف اختفت. نحصل على نتيجة تشبه ما كان سيحصل عليه لو أدخلنا ثمانية "أوتاد"…