كوزمولوجيا جديدة، كون، توأم

جديد أسس الكونية الكونية التوأمية

مقدمة للمقال المنشور في عام 1994 في مجلة نووفو سيمنتو

...بدأ هذا العمل في عام 1977. ملاحظتان في مذكرات الأكاديمية الفرنسية للعلوم:
ج. بي. بيتي: "كونان متماثلان باتجاهات زمنية معاكسة"، مذكرات الأكاديمية، 8 مايو 1977، المجلد 285، ص 1217-1221
ج. بي. بيتي: "كونان متفاعلان مع صورهما في مرآة الزمن"، مذكرات الأكاديمية، 6 يونيو 1977، المجلد 284، السلسلة أ، ص 1413-1416

...في الورقة التي تليها، حاولنا تأسيس علاقة نقطة بنقطة (تطبيق تلقائي) بين نقاط المنطقة المحيطة بالأرض (بمقياس كوني) والنقاط المرافقة في الكون الثاني (الذي نسميه "الكون التوأم": twin universe، أو "الكون الظل": shadow universe، أو "الكون الشبح": ghost universe، تسمية تُعتبر في عقليتنا مكافئة)، باستخدام علاقة القطبية المعاكسة، والتي تتطلب افتراضًا أوليًا حول طوبولوجيا الشكل الهندسي. لاحقًا، لاحظنا أنه لم يكن ضروريًا ذلك، إذ يمكن تعريف البنية المحلية (F, F*) كغطاء ثنائي الورقة لـ "متعددة الأبعاد العظمى". تكون البنية حينها هي غطاء ثنائي الورقة للـ P3، وهو ما يعادل في ثلاثة أبعاد P2، المعروف ببساطة في بعدين، وبالتالي فإن التمثيل الأكثر شهرة هو السطح الذي وُجد في عام 1902 من قبل النمساوي فيرنيير بوي، انظر الشكل 184 (في الأصل عبارة عن مقطع متحرك، عندما يكتمل الموقع).

...كان بوي طالبًا للرياضي الكبير هيلبرت، الذي أعرب عن رضاه الكبير عن اختراع طالبه. وللقصة القصيرة، بعد اختراعه، غادر بوي الجامعة، ولم يُسمع عنه شيئًا بعد ذلك. كل المحاولات التي قام بها المؤرخون للعثور على أثره باءت بالفشل. لا يُعرف ما إذا كان قد مات بسبب نزلة برد سيئة، أم أنه أنهى حياته كصانع أنابيب.

...يعلم الجغرافيون أن جميع نقاط الكرة S2 يمكن تطابقها مع P2، كما ذُكر في الشكل 10 من المقال التالي. إذ يتم تطابق القطب الشمالي مع القطب الجنوبي، ويتم لف الاستواء على نفسه وفقًا لخط الاستواء الوهمي للسطح بوي، كما هو موضح. يُظهر الشكل 11 من المقال هذا الغطاء ثنائي الورقة. يُلاحظ، على الأقل في بعدين، أن هذه العملية تُطابق كيانات متماثلة عكسية، كمرآة. أما الأشكال 12 و13 فهي صور تعليمية توضح كيف ستقع "البقع" في الفراغات الموجودة في المنطقة المقابلة.

...يمكن توسيع نظام الغطاء ثنائي الورقة إلى ثلاثة أبعاد وحتى أربعة، باستخدام الكرة S3 وS4، التي تغطي على التوالي P3 وP4.

قبل الانتقال أكثر، يمكننا إدخال القارئ إلى هندسة هذا السطح الغريب بوي. كما يمكنه أيضًا العثور على تطبيقات مختلفة لهذا الكيان في كتاب "التوبولوجيكون" (دار النشر بيلين، 1984).

...ما قد يفاجئ القارئ بالتأكيد هو حقيقة أن هذا السطح يتقاطع مع نفسه عبر مجموعة من التقاطعات الذاتية التي تشكل منحنى ثلاثي الأوراق، يشبه لولب السفينة:

...في هذا الرسم، على اليسار، تم إنشاء فتحة لعرض النقطة الثلاثية، حيث يتقاطع ثلاثة أوراق. يبدو هذا السطح فريدًا جدًا. في الواقع، يُعد هذا الكيان مثالًا ممتازًا يُمكنه توضيح مفهوم "الفضاء التمثيلي" (3D) المذكور سابقًا.

...النقطة الثلاثية T والمنحنى الذاتي لا ينشأان إلا بسبب طريقة تمثيل P2 في R3. يمكن للكرة، أو الحلقة (التوروس)، أن تُغمر في R3، أي أن تُمثل بطريقة تُحافظ على التكافؤ الطوبولوجي دون أن تتقاطع مع نفسها. لكن من المستحيل غمر P2 في R3. يمكن فقط إدخاله فيه. لذا فإن الرسم أعلاه (سطح بوي) هو غمر لـ P2 في R3. الغمر لجسم ثنائي الأبعاد هو طريقة تمثيل في R3 يحتوي على خط من النقاط المزدوجة (المنحنى الذاتي)، حيث يوجد فيه خطان مماسان، بالإضافة إلى عدد من النقاط الثلاثية حيث تتقاطع ثلاث أوراق. سطح بوي هو واحد من عدد لا نهائي من الطرق الممكنة لغمر P2 في R3. ستجد قارئ آخر هذه الطرق في مقال سيُدرج في الموقع، بعنوان "الوجوه المختلفة للمستوى التوافقي".

...من السهل جدًا الحصول على صور لسطح بوي من خلال تمثيل بارامتري اخترعناه ونشروه.

---> سيجد القارئ في الفرع الفرعي "الرياضيات"، من بين أمور أخرى، إعادة نشر المذكرة المنشورة في عام 1981 في الأكاديمية الفرنسية للعلوم بباريس، بالتعاون مع ج. سوريو (لا، ليس الرياضي الشهير، بل أحد أبنائه، جيروم، الذي أصبح لاحقًا مبرمجًا حاسوبيًا)، والمذكورة كالتالي:
"التمثيل التحليلي لسطح بوي"، مذكرة في مذكرات الأكاديمية الفرنسية للعلوم بباريس، المجلد 293 (5 أكتوبر 1981)، السلسلة 1، ص 269-272

يُظهر هذا المقال أن السطح يحتوي على محيطات إهليلجية. تتيح هذه الخاصية رسم السطح بسهولة. فيما يلي البرنامج الموجود في الصفحة الأولى من كتبي المصور "التوبولوجيكون".

برنامج باسيك

10 CLS

50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8

90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1

95 P = P + 1

100 D = 34 + 4.794 * SIN (6MU -P3)*

110 E = 6.732SIN(3MU-P6)

120 A = D + E : B = D - E

130 SA = SIN (P8SIN(3MU))

140 C2 = SQR ( A * A + B * B) : C3 = ( 4 * D * E) / C2

160 CM = COS (MU) : SM = SIN (MU)

180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06

190 TC = A * COS (TE) : TS = B * SIN (TE)

200 X1 = C3 + TC - TS

210 Z1 = C2 + TC + TS

250 REM VOICI LES 3 COORDONNEES

300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM

310 Y =Y1 * SM + Z1 * SA * CM

350 REM INTRUCTION POUR AFFICHER LES POINTS

360 PSET (X,Y),1

400 NEXT TE : NEXT MU

...بالذات، كانت هذه الاكتشافات حول إمكانية تمثيل هذا السطح باستخدام محيطات إهليلجية هي ما مكّن الرياضي أبيري لاحقًا من الحصول على أول تمثيل ضمني من الدرجة السادسة:
f (x , y ,z) = 0

لن نعيد نشره هنا (إنه معقد إلى حد ما، ونحن مقتنعون بأن هناك تمثيلات أبسط، لكن هذا سيكون موضوع وثيقة أخرى سيتم تضمينها في الموقع الرياضيات).

...الزجاجة الكلاين أكثر شهرة لدى القارئين. من المستحيل أيضًا غمرها في R3. تظهر حينها، في شكلها الكلاسيكي، كغمر يحتوي على مجموعة تقاطع تمثل منحنى مغلقًا بسيطًا.

...الغطاء ثنائي الورقة لسطح كلاين هو حلقة T2، تمامًا كما أن غطاء سطح بوي (P2) هو كرة S2. يمكن للقارئ المهتم بسطح بوي العثور على نموذج ثلاثي الأبعاد له في إحدى قاعات قصر الاكتشاف في باريس، وهو نموذج قمنا بتصنيعه من قبل الفنان البلاستيكي ماكس سوز، بناءً على نموذج أبسط قمنا بصنعه سابقًا.

...في عمليات الغطاء ثنائي الورقة هذه، تلتف "المحيطات" و"الدوائر العرضية" للأجسام على نفسها. يمكن على سبيل المثال توضيح ما يحدث للدوائر العرضية للحلقة (المرتبطة أيضًا بالغمر الممثل):

...في هذا الغمر للحلقة، لا يمكن أن تكون الدوائر العرضية هي جيوديسيات للسطح (إلا "دائرة الحلق"). الحالة مشابهة بالنسبة للمحيطات للحلقة، التي هي جيوديسيات لغمرها القياسي:

فيما يلي كلاهما، مُركّبَين معًا:

...سنعود إلى كل هذه الأمور في نص لاحق...