الكونية ذات الكونين المزدوجين المادة، المادة الظلية، الفيزياء الفلكية. 2: القياسات المترابطة ذات الحالة الثابتة. الحلول الدقيقة. (ص4)
3) الانحناءات المتجانسة المتجانسة.
من نظام المعادلات العام للحقول (1) + (2)، نحصل على:
(58)
R* = - R
في نقطتين مترابطتين M و M*، تابعتين على التوالي للطيات F و F*، فإن الانحناءات المتجانسة R و R* متعاكستان. نحن نسمي هذه الهندسات "هندسات مترابطة". يمكننا محاولة توضيح هذا المفهوم باستخدام صورة تعليمية. اعتبر الشكل 1: في الأعلى، "كون مُلَوَّن"؛ في الأسفل، "كون مُلَوَّن سالب"، مواجهين لبعضهما. يُبنى "كون مُلَوَّن" من مخروط مقطوع، متصل بجزء من كرة عبر دائرة (سطح بكثافة انحناء زاوي ثابتة).
الشكل 1: صورة تعليمية للهندسات المترابطة (R = -R). الكتلة M موجودة في الطية F. الطية F فارغة.
مُظهر: زوج من النقاط المترابطة (M, M*).
السرج الفرس هو المكافئ، بالنسبة للانحناء السلبي، لجزء من كرة (سطح بكثافة انحناء زاوي ثابتة). تحتوي الكرة على انحناء كلي يساوي 4π. يحتوي جزء من الكرة على كمية من الانحناء الزاوي q تُعطى بواسطة:
(59)
المخروط هو سطح يحتوي على نقطة انحناء زاوي مركزة S، تتوافق مع انحناء زاوي إيجابي q > 0. نقوم ببنائه وفقًا للشكل 2.
الشكل 2: بناء "كون مُلَوَّن".
تعريف الانحناء الزاوي المحتوى في قمة المخروط: إذا رسمنا مثلثًا مكونًا من ثلاث خطوط جيوديسية، فإن حالتين ممكنتين. إذا لم يحتوي على القمة، فإن مجموع الزوايا هو المجموع الإقليدي π. إذا احتوى على القمة، فإن هذا المجموع يساوي π بالإضافة إلى الانحناء النقطي المقابل q. انظر الشكل 3.
الشكل 3: انحناء زاوي نقطي إيجابي
الموجود في قمة (كون مُلَوَّن).
بالمثل، يمكننا بناء "كون مُلَوَّن سالب"، كما يلي:
الشكل 4: بناء "كون مُلَوَّن سالب" مُزود بانحناء زاوي نقطي سالب، موجود في S.
يمكننا تجميع مجموعة من الكونات الصغيرة المُلَوَّنة، والتي تتوافق مع انحناءات أساسية dqi، وربطها مع بعضها البعض. انظر الشكل 5.
الشكل 5: مجموعة من الكونات الأساسية.
الانحناء الزاوي كمية جمعية. إذا اتجه عدد العناصر نحو اللانهاية واتجهت dqi نحو الصفر، فإن الكائن الكلي يتجه نحو سطح منظم محدود. على أي جزء من هذا السطح، يمكننا قياس الانحناء الزاوي (مجموع الزوايا dqi). يمكننا أيضًا تعريف كثافة انحناء زاوي محلية كما يلي:
(60)
وبالتالي، تتجه هذه المجموعة من الكونات الأساسية المُلَوَّنة المُجمعة نحو سطح منظم مزود بمستوى مماس. إذا كان C(M) ثابتًا و إيجابيًا على سطح، فإن هذا السطح هو كرة أو جزء من كرة. تُعطي التكاملية للكثافة الانحنائية الزاوية على سطح الكرة انحناءها الكلي المساوي لـ 4π. إذا كان C(M) صفرًا، فإن السطح مسطح محليًا (مستوى، جدار مخروط، أسطوانة، على سبيل المثال).