| 1 |
مقدمة.
...الفيزياء مثل كعكة:
(1)
- الطابق الأول: الملاحظات، التجارب.
- الطابق الثاني: المعادلات التفاضلية.
- الطابق الثالث: الهندسة
- الطابق الرابع: نظرية الزمر.
الزمر تحكم الهندسة،
التي تلد معادلات تفاضلية جميلة.
بالمعادلات التفاضلية
نبني أشياء، تُستخدم بعد ذلك لشرح أو التنبؤ بما نسميه وقائع
فيزيائية.
...تاريخياً بدأ البشر بدراسة الوقائع وتقنينها،
وإجراء الملاحظات والقياسات. ثم تخيلوا قوانين
الحفظ، و"القوانين الفيزيائية". في بداية القرن بدأوا يفكرون
في أن القوانين الفيزيائية قد يكون لها علاقة ما بالهندسة.
في الفترة نفسها، سأل فيليكس
كلاين:
ما هي الهندسة؟
لاحظ أنه قال "هندسة" وليس "الهندسة" (برنامج إرلانغن)
...أظهر كلاين ولي وكارتان وآخرون أن شيئاً يكمن تحت المظهر الهندسي.
لم تكن الهندسة الطابق الأخير، ذروة المعرفة في الفيزياء.
من بنية زمرة يمكن بناء هندسة.
في ما يلي سنحاول إظهار الصلة بين الزمر والهندسة والفيزياء.
بالمناسبة، فوق الزمر، ماذا؟
...سأميل إلى القول: المنطق. لكن المنطق شقة كان آخر شاغليها كورت
غودل، حارق متعمد خطير. بواسطة مبرهنته الشهيرة أضرم النار في
الأثاث، فدُمّر تماماً. منذ هذه المأساة، الغرفة
خالية.
...لهذا وضعت علامة استفهام هناك.
الزمر.
...ما هي الزمرة؟ في ما يلي نحصر البحث في الزمر الديناميكية في
الفيزياء: مجموعة من المصفوفات المربعة (n,n) تخضع لمسلّمات محددة. هذه المصفوفات
g، عناصر الزمرة G، تؤثر كل واحدة على الأخرى عبر الضرب المصفوفي الكلاسيكي (سطر-عمود). بين هذه المصفوفات المربعة نجد مصفوفات الوحدة.
(1-مكرر)
...الزمرة تخضع للمسلّمات التي عرّفها الرياضي النرويجي سوفوس لي.
تنطبق هذه المسلّمات على كائنات أعم بكثير من مجموعات المصفوفات.
لكننا سنحصر نظرتنا في هذا العالم الخاص ونستخدم الضرب المصفوفي:
x
1 - المسلّمة الأولى لنظرية الزمر:
حاصل ضرب عنصرين g1 و g2 من زمرة G:
(2)
g3 = g1 x g2
يخضع لـ:
(3)
لنعطِ مثالاً على زمرة مصفوفات تعتمد على وسيط واحد a. العنصر
هو:
(4)
حاصل ضرب عنصرين يعطي:
(5)
أو:
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = g ( g )
يمكننا كتابة الضرب المصفوفي:
(7)
وهو مشابه لـ g1 و g2، أي:
(8)
مثال على العكس: لنعتبر مجموعة المصفوفات التالية التي تعتمد
على وسيط واحد a
(9)
حاصل ضرب عنصرين يعطي:
(10)
وهو مختلف جوهرياً عن (5).
2 - المسلّمة الثانية لنظرية الزمر:
في مجموعة العناصر يجب أن نجد عنصراً خاصاً، يسمى العنصر المحايد e، والذي، عند دمجه
مع أي عنصر آخر، يخضع لـ:
(11)
g x e = ex g = g
في الزمر التي تكون عناصرها مصفوفات مربعة، يكون هذا العنصر المحايد e دائماً مصفوفة الوحدة
1.
(12)
g x 1 = 1 x g = g
لاحظ أننا نستخدم الحروف العادية لوصف الكميات القياسية والحروف العريضة لكائنات أخرى: مصفوفات مربعة أو سطرية
أو عمودية.
لنعد إلى المثال الأول للزمرة:
(13)
لاحظ أن:
(14)
