a4101
| 1 |
|---|
مقدمة.
...الفيزياء تشبه الكعكة:
(1)
- الطابق الأول: الملاحظات، التجارب.
- الطابق الثاني: المعادلات التفاضلية.
- الطابق الثالث: الهندسة - الطابق الرابع: نظرية المجموعات.
تُحكم المجموعات الهندسة، التي تُولِّد معادلات تفاضلية جميلة.
باستخدام المعادلات التفاضلية، نبني أشياءً تُستخدم لاحقًا لتفسير أو توقع ما نسميه حقائق فيزيائية.
...تاريخيًا، بدأ البشر بدراسة وتصنيف الحقائق والملاحظات من خلال إجراء القياسات. ثم تخيلوا قوانين الحفاظ، و"قوانين فيزيائية". في بداية القرن، بدأوا يفكرون في احتمال وجود علاقة بين القوانين الفيزيائية والهندسة.
في نفس الفترة، سأل فيليكس كلاين: ما هي الهندسة؟
لاحظ أنّه قال "هندسة" وليس "الهندسة" (برنامج إرلانغن).
...أظهر كلاين، لي، كارتن وغيرهم أن هناك شيئًا مخفيًا وراء الظهور الهندسي. لم تكن الهندسة الطابق الأخير، أو القمة القصوى للمعرفة في الفيزياء. يمكن بناء هندسة من هيكل مجموعة.
في ما يلي، سنحاول إظهار العلاقة بين المجموعات، والهندسة، والفيزياء.
وبينما نتحدث عن المجموعات، ماذا عنهم؟
...أميل إلى القول: المنطق. لكن المنطق هو غرفة كان آخر من يسكنها كورت جودل، مُحِقٌّ خطر. بمعارضته الشهيرة، أشعل النار في الأثاث، الذي دُمِّر تمامًا. منذ تلك المأساة، أصبحت الغرفة فارغة.
...لهذا السبب وضعت علامة استفهام هناك.
المجموعات.
...ما هي المجموعة؟ في ما يلي، نقتصر الدراسة على المجموعات الديناميكية في الفيزياء: مجموعة من المصفوفات المربعة (n,n) التي تلتزم بمتطلبات محددة. هذه المصفوفات g، عناصر المجموعة G، تؤثر على بعضها البعض عبر الضرب المصفوفي التقليدي (السطر-العمود). ضمن هذه المصفوفات المربعة، نجد مصفوفات الوحدة.
(1-bis)
...تلتزم المجموعة بالمتطلبات التي عرّفها الرياضياتي النرويجي سويفوس لي. هذه المتطلبات تنطبق على كائنات أوسع بكثير من مجموعات المصفوفات. لكننا سنقتصر نظرنا على هذا العالم الخاص، وسنستخدم الضرب المصفوفي:
x
1 - البديهية الأولى لنظرية المجموعات:
حاصل ضرب عنصرين g1 و g2 من مجموعة G:
(2)
g3 = g1 × g2
يُحقق:
(3)
نعطي مثالًا على مجموعة مصفوفات تعتمد على معلمة واحدة a. العنصر هو:
(4)
حاصل ضرب عنصرين يعطي:
(5)
أو:
(6)
g(a) × g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
يمكننا كتابة الضرب المصفوفي:
(7)
وهو مشابه لـ g1 و g2، أي:
(8)
مثال معاكس: ننظر إلى المجموعة التالية من المصفوفات التي تعتمد على معلمة واحدة a
(9)
حاصل ضرب عنصرين يعطي:
(10)
وهو مختلف جوهريًا عن (5).
2 - البديهية الثانية لنظرية المجموعات:
في مجموعة العناصر، يجب أن نجد عنصرًا خاصًا يُسمى العنصر المحايد e، والذي عند دمجه مع أي عنصر آخر، يحقق:
(11) g × e = e × g = g
في المجموعات التي تكون عناصرها مصفوفات مربعة، يكون هذا العنصر المحايد e دائمًا المصفوفة الوحدة 1.
(12) g × 1 = 1 × g = g لاحظ أننا نستخدم خطوطًا عادية لل Scalars، وخطًا غامقًا للعناصر الأخرى: مصفوفات مربعة، أو صفوف، أو أعمدة.
نعود إلى المثال الأول للمجموعة:
(13)
لاحظ أن:
(14)