a4102
| 2 |
|---|
3 - البديهية الثالثة نظريّة المجموعات :
يجب أن يمتلك كل عنصر من المجموعة معكوسه، يُرمز له بـ g⁻¹، ويُعرّف على النحو التالي:
(15) g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
في مثالنا:
(16)
أي: b = - a أو:
(17) g⁻¹ ( a ) = g ( - a )
هنا، حساب المصفوفة المعكوس بسيط.
ما هي الشروط التي يجب أن تتوفر في مصفوفة مربعة معينة لكي تمتلك معكوسًا؟
... يمكن ربط كل مصفوفة مربعة بقيمة قياسية تُسمى "المحدد". لمعرفة التعريف، يُرجى الرجوع إلى أي كتاب مخصص لـ "الحساب الخطي". يُرمز لهذا المحدد بـ: det ( g )
بالإضافة إلى ذلك، لدينا نظرية عامة:
det (g₁ × g₂) = det (g₁) × det (g₂)
محدد مصفوفة قطرية هو:
(18)
وبالتالي: det ( 1 ) = 1
لأن 1 هي مصفوفة قطرية.
بناءً على تعريف معكوس المصفوفة:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
إذًا:
(19)
det ( g × g⁻¹ ) = det (g) × det (g⁻¹) = 1
...إذا كان det (g) = 0، فإن الشروط (19) لا يمكن تحقيقها. المجموعات التي تحتوي على عناصر لها محدد يساوي الصفر لا تحقق البديهية الثالثة، ولا يمكنها تشكيل مجموعة.
بالإضافة إلى ذلك:
(20)
4 - البديهية الرابعة نظريّة المجموعات :
يجب أن تكون الضرب مُتَّصِلًا، أي:
(21)
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
الضرب المصفوفي أساسيًا مُتَّصِل.
حجم المجموعة:
...كما سنرى، يمكن لمجموعة أن تؤثر على مساحة تُوصف بنقاطها بـ متجهات عمودية. مثال: نقاط مساحة الزمان (تُسمى "الأحداث") :
(22)
...هذا مساحة ذات أبعاد أربعة. يمكن لعدة مجموعات أن تؤثر عليها. لكن حجم المجموعة لا علاقة له بحجم المساحة التي تؤثر عليها.
حجم المجموعة (المصفوفات) هو عدد المعايير التي تحدد هذه المصفوفات المربعة.
لدينا مثال للمصفوفات المُعرَّفة بمعامل واحد
a
وبالتالي، حجم هذه المجموعة هو واحد.
لاحظ أن:
(22-bis)
ملاحظة:
جميع مجموعات المصفوفات ليست مُتبادلة، على الرغم من أن المجموعة التي درسناها تمتلك هذه الخاصية:
(23)
إذا كانت هذه المجموعة تؤثر على متجه عمودي يتوافق مع مساحة ذات بعدين:
(23 bis)
فهذا يتوافق مع دوران حول نقطة ثابتة في مستوى:
(23 ter)
هذه العملية مُتبادلة بشكل واضح.
قد تميل إلى القول: "مثل جميع مجموعات الدوران".
...أنت مخطئ. اعتبر دورانات حول محاور تمر بنقطة معينة O. ادمج دورتين متتاليتين حول محاور مختلفة. هذا ليس مُتبادلاً. تمارين: أظهر ذلك باستخدام نظام محاور متعامدة (OX, OY, OZ)، ووضح أن الدورانات المُجمعة حول هذه المحاور لا تشكل عملية مُتبادلة. خذ أي جسم.
- قم بدوران +90 درجة حول OX، ثم دوران +90 درجة حول OZ
- عُد إلى الظروف الأصلية و:
- قم بدوران +90 درجة حول OZ، ثم دوران +90 درجة حول OX
قارن النتائج.
عملية المجموعة.
...تتكون المجموعة G من مصفوفات مربعة g. يمكن ضربها. سنقول أن المجموعة يمكن أن تؤثر على نفسها.
يمكن أيضًا للمجموعة أن تؤثر على مساحة تتكون من نقاط تُوصف بمتجهات عمودية. مثال:
(24)
إذا كتبنا:
(25)
فإن تأثير المجموعة على هذه المساحة يصبح:
(26) g × r
...في هذه الحالة الخاصة، يُختصر تأثير المجموعة على المساحة إلى الضرب المصفوفي البسيط. لكن مفهوم التأثير أكثر شمولية.