العمل والرد على المصفوفات في مجموعة

a4115

نحن بحاجة إلى:
(180)

Ag ( Ag'(y)) = Ag"(y)

Ag(y) = y × g

Ag'(y) = y × g'
Ag ( Ag'(y)) = y × g' × g

لكن:

حاصل ضرب مصفوفتين ليس دائمًا قابلًا للتبادل. وعليه:
(181) Ag(y) = y × g

ليس عملية زمرة : فهي لا تفي بالبديهيات المذكورة أعلاه. ومع ذلك، فإنها تتوافق مع "عملية معاكسة":
(182)

بالنسبة للمصفوفات:
(183)

نستمر في بحثنا عن العمليات والعمليات المعاكسة. من المتجه x، يمكننا بناء مTranspose ومحاولة:
(184)

هل هي عملية؟ دعنا نرى.

g" = g × g'

(185)

(186)

هنا نستخدم نظرية من حساب التفاضل الخطي:
(187) M⁻¹ × N = ( N × M )⁻¹

حيث M و N مصفوفات عشوائية (n,n). ومنه:
(188) g'⁻¹ × g⁻¹ = ( g × g' )⁻¹ = g"⁻¹

و:
(189)

وهي بالفعل عملية زمرة. دعنا ننظر الآن إلى:
(190)

Ag(m) = g × m × g⁻¹

لنثبت أنها عملية. سننظر إلى المصفوفات الثلاث التالية.
(191)

g

g'

g" = g × g'

Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ag'(m) = g' × m × g'⁻¹
Ag"(m) = g" × m × g"⁻¹

علينا التحقق من:
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)

لنحسب الطرف الأيسر:
(193) g × (g' × m × g'⁻¹) × g⁻¹

أو بمعنى آخر:
(194) g × g' × m × g'⁻¹ × g⁻¹

أي:
(195) (g × g') × m × ( g × g' )⁻¹ = g" × m × g"⁻¹

وهي بالفعل عملية زمرة. سنسميها، وفقًا لسوريو،
العملية المُلحقة:
(193)

سننظر الآن إلى عملية معاكسة للزمرة على مصفوفة m.
(194) AAg(m) = g⁻¹ × m × g

لنثبت أنها تحقق:
(195) AAg'(AAg(m)) = AAg"(m)

لنحسب الطرف الأيسر:
(196) g'⁻¹ × (g⁻¹ × m × g) × g

أو بمعنى آخر:
(197) g'⁻¹ × g⁻¹ × m × g × g'

أي:
(198) (g × g')⁻¹ × m × ( g × g' )

أو بمعنى آخر:
(199) g"⁻¹ × m × g"

نظرية المجموعات الديناميكية