اختيار المصفوفة m والجبر اللاتي

a4117

اختيار المصفوفة m.

... يمكن مقارنة الزمرة G بسطح معين. تعتمد على عدد معين من المعاملات. ليكن P هذا الفضاء الخاص بمعاملات الزمرة، وp نقطة في هذا الفضاء. عدد هذه المعاملات pi هو بعد الزمرة.
(217)

أُظهر: العنصر المحايد e (المصفوفة الوحدوية 1).
يمكننا إعطاء زيادة d p:
(218)

... ثم نُشتق المصفوفة g، وهي عنصر من الزمرة. نحصل على مصفوفة مربعة dg التي لا تنتمي إلى الزمرة. نسميها المتجه المماس للزمرة. تشكل هذه المتجهات المماسية ما يُعرف بـ جبر لي الزمرة (الذي ليس بالفعل جبرًا، من الناحية الفعلية).
نختار التفاضل بالقرب من العنصر المحايد:
(219)

و نختار التأثير العكسي التالي:
(220) AAg(m) = g⁻¹ × dg(g=e) × g

ملاحظة:
لماذا نختار المتجه المماس للزمرة عند g = 1؟

... يمكننا استخدام شكل أكثر عمومية، أي متجه مماس dg في أي نقطة من الزمرة. وسنحصل على نفس النتيجة، لكن الحسابات ستكون أكثر تعبًا بكثير.

بعد الزمرة هو n. تعتمد المصفوفة g على n معاملات { pi }.

يُعتمد عنصر جبر لي dg(g=e) على نفس عدد المعاملات { d pi }.

سيوفر حساب التأثير العكسي أعلاه التطبيق التالي:
(221) { d pi } -----> { d pp'i }

نُدخل نفس العدد من القيم القياسية: { J i }

نسمي هذا المجموعة الزخم J للزمرة. J = { J i }

إنه مجموعة من n كميات، أي n قيم قياسية. أحيانًا يمكننا تمثيلها على شكل مصفوفة (عملية بوانكاريه على زخمه).

{ J i } هو المتجه المزدوج { d p i } للمتجه المماس للزمرة. تعطي التكافؤ العلاقة:
(222)

من هذه الحفاظ على الضرب القياسي، إذا عرفنا التطبيق:
(223) { d p i } -----> { d p' i }

يمكننا بناء التطبيق الثنائي:
(224) { J i } -----> { J 'i }

هذا هو التأثير الأساسي الذي نبحث عنه، ويُسميه سوريو العملية المزدوجة للزمرة على فضاء الزخوم.

أفضل طريقة لشرح هذا المفهوم هي تقديم مثال:

العملية المزدوجة للزمرة بوانكاريه على فضاء زخومها Jp.

في الأعلى، قدمنا الزمرة اللورنتزية العامة. باختيار:
(225)

نحصل على الزمرة اللورنتزية L التي يُحقق عنصرها L التعريف الأксиومي:
(226)

المتجه الفضائي الزمني هو (227)

بأخذ c = 1، نحصل على الشكل التربيعي الأساسي، وهي مترية مينكوفسكي:
(228)

المصفوفة العكسية هي (229)

الآن نُدخل تحويلًا زمانيًا فضائيًا:
(230)

نُنشئ عنصر gp من زمرة بوانكاريه Gp على النحو التالي:
(231)

تمرين: إثبات أنه زمرة وحساب المصفوفة العكسية:
(232)

عنصر جبر لي هو (233)

والتأثير العكسي:
(234) dgp' = gp⁻¹ × dgp × gp

نلاحظ أن
(235) G d L

هي مصفوفة متماثلة عكسية. نسميها:
(236)

إذًا:
(237)

بالتالي:
(238)

من هذا، يمكننا بناء التأثير العكسي:
(239) dgp' = gp⁻¹ × dgp × gp

وهذا يعطينا التطبيق:
(240)

(240b) (240c)

هو التطبيق المطلوب:
(241)

فهرس نظرية الزمر الديناميكية