a4119
| 19 |
|---|
جسيمات ذات دوران.
...يصف مجموعة بوانكاريه الحركة النسبية لجسم نقطي. وبالمثل، تصف مجموعة بارغمان الحركة غير النسبية. تظهر مكونات الزخم ككميات هندسية نقية. إنها هندسة الفيزياء. يعرف الفيزيائيون الطاقة ( E ) وال벡تور الزخم ( \mathbf{p} ). لكنهم قد يشكون قليلاً من الكائنين الآخرين: الممر ( \mathbf{f} ) وال벡تور الدوران ( \mathbf{l} ). تعتمد صيغة مكونات الزخم على اختيار الإحداثيات. ...كل مجموعة ديناميكية تمتلك فضاء زخمها وعملية تآزنية عليها. إذا، بدلًا من اختيار العالم النسبي أولًا (مجموعة بوانكاريه)، اخترنا العالم غير النسبي، لكان علينا اللجوء إلى مجموعة بارغمان. للمزيد من التفاصيل الحسابية، انظر محاضراتي حول المجموعات. إن مجموعة بارغمان هي تمديد غير تافه لمجموعة غاليلو: (272)
كما يمكن للقارئ ملاحظة، فإن هذه المجموعة تعمل على فضاء خماسي الأبعاد:
( \mathbf{r} ): الفضاء
( t ): الزمن
( z ): متغير إضافي.
...ستُناقش أسئلة المتغيرات الإضافية لاحقًا. في هذا الموقع، تم تقديم الحساب الكامل لعملية التآزنية لمجموعة بوانكاريه أعلاه. يمكن أيضًا استخلاص حساب عملية التآزنية لمجموعة بارغمان على فضاء زخمها. بشكل مفارِق، فإن الحساب في العالم غير النسبي أكثر تعقيدًا قليلاً من الحساب في العالم النسبي. والنتيجة هي كما يلي: (273)
يُعرّف الفيزيائي بعض الكائنات المألوفة، مثل السرعة: (274)
والطاقة الحركية: (275)
( m\mathbf{v} ) هو الزخم. السرعة بالنسبة إلى ماذا؟ تغيّر المجموعة معاملات الحركة، وتمنح الجسيم سرعة ( \mathbf{v} ) وطاقة حركية ( E ). يمكننا اعتماد التفسير العكسي، واعتبار أن المجموعة هي وجهة نظر خاصة بشيء ما، بجسيم. إذا أخذنا في الاعتبار مجموعة ( SO(3) )، والمصفوفات ( \mathbf{a} )، فهذا يعني "من زاوية رؤية أخرى". وإذا أخذنا في الاعتبار مجموعة ( O(3) )، والمصفوفات ( \mathbf{a} )، فإن ذلك يضيف إمكانية مراقبة "الشيء" من خلال مرآة.
المتجه الترجمي (276)
لمجموعة أقليدس يضيف "من مكان آخر".
في المجموعات الديناميكية، وجود سرعة ( \mathbf{v} ) في المجموعة يعني أن المراقب يتحرك. الترجمة الزمنية ( e = \Delta t ) تعني أن المراقب يرى الشيء بعد فترة تأخير معينة. يمكن دمج متجه الترجمة ( \Delta\mathbf{r} ) والتأخير الزمني ( \Delta t ) في متجه ترجمة فضائية-زمنية: (277)
انظر إلى الصيغ، من مجموعة بارغمان، نرى أن:
( m' = m )
بأي وجهة نظر، تبقى الكتلة غير متغيرة.
لنبسط قليلاً هذه "الوجهة"، باختيار ( \mathbf{a} = \mathbf{1} ).
تصبح عملية التآزنية: (278)
...تُشير عملية التآزنية إلى تغير معاملات الحركة. إذا اعتبرنا أننا ننتقل من حالة ثابتة إلى حالة غير ثابتة، فإن الشروط الابتدائية تتوافق مع:
( E = 0 ) (طاقة صفرية)
( \mathbf{p} = 0 ) (زخم صفر، سرعة صفرية)
"الممر" ( \mathbf{f} = 0 )
فتصبح عملية التآزنية تعطي: (279)
يجب قراءة "النظر" في معناها الأصلي.
يقول المُسجِّل: - إعداد جرد وقائمة تفاصيل.
...الرؤية الثابتة (( \mathbf{v} = 0 )) للأشياء تتوافق مع مجموعة أقليدس. يراقب المُسجِّل الأشياء من مسافة ( \mathbf{c} ). يراقب الأحداث في اللحظة التي تحدث فيها ( ( \Delta t = 0 ) ). وقد ينظر من زاوية معينة (( \mathbf{a} \neq \mathbf{1} )).
...القائد العام، الذي يحلق فوق ميدان معركة بمقاتلة، هو نوع من المُسجِّل الذي يراقب الأشياء من وجهة نظر متحركة (من طائرة تحلق بسرعة ( \mathbf{v} )). ...لكن القائد العام، في مقره، يشاهد فيديو تم تصويره بواسطة طائرة مُسيرة قبل عدة ساعات، ويقول: - بالنظر إلى الهدف كما كان قبل ساعة ( ( \Delta t \neq 0 ) )، من وجهة مراقبة متحركة ( ( \mathbf{v} \neq 0 ) )، من ارتفاع خمسة آلاف قدم ( ( \mathbf{c} \neq 0 ) )، أثناء الطيران بسرعة ( \mathbf{v} ) وتصوير الصورة من زاوية معينة (( \mathbf{a} \neq \mathbf{1} )).
...الهدف لا يملك سرعة أو موضعًا أو اتجاهًا محددًا، حتى لو افترضنا أنه مبنى "ثابت". كل شيء نسبي. حتى الأرض والشمس والمجرة التي نعيش فيها تتحرك في الفضاء.
...قطب الأرض الشمالي يختلف عن قطب الشمس بـ 23°، ويتطور بمرور الزمن (26000 سنة)، بسبب التأرجح الاستوائي. القطب الذي يشير إليه الشمس (محور دورانها الخاص) ليس نفسه الذي يشير إليه مجموعتنا المجرية، درب التبانة، التي تمتلك حركة دوران خاصة بها (فجوة 90°). حتى المجرة تتحرك بسرعة ثلاثمائة ميل في الساعة. بالنسبة إلى ماذا؟ بالنسبة للآخرين. هذا كل ما يمكن قوله. المجموعة تمثل وجهتين نظريتين مختلفتين.
...إذا اعتبرت أن الجسم ثابت، ثابت في الفضاء والزمن، ولا يملك حركة دوران، فإن كل ما يمكنني قوله هو:
- إذا ابتعدت مسافة ( \mathbf{c} ).
- إذا رأيت الشيء أثناء الطيران بسرعة ( \mathbf{v} ).
- إذا وصلت إليَّ المعلومات القادمة من هذا الشيء بتأخير زمني ( \Delta t ).
باستثناء نفسي:
---> الكتلة لا تتغير.
----> أُعطي الجسم زخمًا ( m\mathbf{v} )، معتبرًا إياه ظاهريًا.
-----> يكتسب الجسم "ممرًا" ( \mathbf{f} = m[\mathbf{c} - \mathbf{v}\Delta t] )
-----> يكتسب دورانًا (279ب)
اكتب ذلك بشكل أكثر وضوحًا: (280)
(281)
(282)
أو: (283)
يمكن اعتبار المكونات الثلاث المستقلة لمصفوفة الدوران ( \mathbf{l} ) كمكوّنات متجه: (283ب)
...على الرغم من أن الضرب المتجهي لم يُعرَّف في فضاءنا، أي أننا لم نُعطِ الفضاء اتجاهًا يمينًا-يسارًا، يمكن اعتبار التعبير النهائي ضربًا متجهيًا. (284)
...الحروف ( \mathbf{v} ) المقلوبة تشير إلى الضرب المتجهي. نرى أن السطر الأخير من الصيغ التي تعطي عملية التآزنية يتوافق مع: (285)
( \mathbf{l} ) مصفوفة، وليس متجهًا. لكن حسب الترميز المستخدم، تشير الحروف الغامقة بشكل متساوٍ إلى مصفوفة أو متجه.
يبدأ هذا المتجه أن يبدو شيئًا مألوفًا للفيزيائي: الزخم الزاوي.