مكوّنات مجموعة بوانكاريه والعمل المُتّصل

a4123

نذكّر المكونات الخاصة بمجموعة بوانكاريه:

E: الطاقة
p: الزخم
f: التمرير
l: مصفوفة اللف.

للاحتفاظ بالنص الأصلي لسوريو، نسمي:

• Ln العنصر من المكون المحايد Ln لمجموعة لورنتز الكاملة L.
• Ls العنصر الذي يعكس الفضاء.
• Lt العنصر الذي يعكس الزمن.
• Lst العنصر الذي يعكس كلاً من الفضاء والزمن معًا.

بما أن C هو متجه التحويل الزمكاني، فإن المكونات التالية لمجموعة بوانكاريه تكون:

gp ( Ln , C) عنصر من المكون المحايد Gpn.
gp ( Ls , C) عنصر من المكون Gps، الذي يعكس الفضاء.
gp ( Lt , C) عنصر من المكون Gpt، الذي يعكس الزمن.
gp ( Lst , C) عنصر من المكون Gpst، الذي يعكس كليهما.

العملية المرافقة هي: (313)

P هو المتجه الرباعي:
(314)

لدينا أربع مصفوفات مميزة: (315)
مع l = ± 1 و m = ± 1.

Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = -1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = -1)
Lst = L ( l = -1 ; m = -1)

(316)
(317)
(318)

نحن مهتمون بحالة C = 0 (319)
مما يُنتج: l' = l و f' = l m f
ومنه: (320)

gp ( Ln , C) : I E → E ; p → p ; f → f ; l → l
gp ( Ls , C) : I E → E ; p → -p ; f → -f ; l → l
gp ( Lt , C) : I E → -E ; p → p ; f → -f ; l → l
gp ( Lst , C) : I E → -E ; p → -p ; f → f ; l → l

الانعكاسات لا تُغيّر مصفوفة اللف l.

على العكس، فإن انعكاس T وانعكاس الطاقة مترادفان.
E → -E (يمكننا تسميته "تناظر E")

اللف s، مثل مقدار متجه اللف s، هو مجرد عدد لا يتغير بفعل أي من المكونات للمجموعة، سواء كانت أورثوكرونية أو ضد أورثوكرونية. ... طاقة الراحة للجسيم هي mc². كما نرى، فإن عكس الكتلة يقترن مع عكس الزمن. لكن عكس الفضاء لا يُغيّر الطاقة ولا الكتلة.

يسمي سوريو المكونين الأولين المتصلين لمجموعة بوانكاريه الكاملة:

Gpn، Gps

المكونات الأورثوكرونية (حيث Gpn هو المكون المحايد).

أما المكونان الآخرين: Gpt، Gpst

فهما المكونات ضد الأورثوكرونية. وهذا يثير مسألة الكتلة السالبة. هل توجد؟ إذا كانت موجودة، فما هو مصير تصادم جسيمين كليهما ذات كتل وطاقة معاكستين:

• mc² و - mc²

...لاحظ أن هذا لا يتطابق مع "الاندثار" لزوج جسيم-مضاد جسيم. عند تصادم هذين الجسيمين، نحصل على طاقة إشعاعية، فوتونات. أما نتيجة تصادم جسيم طاقته موجبة وجسيم طاقته سالبة، فستكون أكثر إرباكًا بكثير، لأن النتيجة يجب أن تكون صفرًا: لا شيء.

...ما هي الطبيعة؟ ما هو الجسيم؟ في هذا النهج، نبدأ بمجموعة معطاة: مجموعة بوانكاريه. ثم نبني عمل هذه المجموعة على فضاء الزخم الخاص بها. ويتألف فضاء الزخم من نقاط. وكل نقطة تمثل حركة أحد الكائنات الهندسية التي تشكل الفضاء المرتبط بالمجموعة.

...في ما يلي، سنُظهر أن مجموعة بوانكاريه غير قادرة على استيعاب جميع خصائص الجسيمات.

...أبعاد مجموعة بوانكاريه هي 10.
إذًا أبعاد فضاء الزخم هي أيضًا عشرة. (321) J = { E , p , f , l }

إذا اخترنا نظام إحداثيات مرتبط بالجسيم، فإن f = 0.

باختصار، الخصائص الوحيدة التي تظهر بشكل طبيعي من مجموعة بوانكاريه، ككميات هندسية، هي:

لجسيم كتلته صفرية:

• طاقته – لفه وحُرَّيته

لجسيم كتلته غير صفرية:

• كتلته الراكدة – لفه.

أما الخصائص الأخرى:

• الشحنة الكهربائية
• الشحنة الباريونية
• الشحنة اللبتونية
• الشحنة الميوونية
• الشحنة التاونية
• معامل الجيروماغنتيكي
  وذلك أن يكون هذا الجسيم يتوافق مع عالم المادة أو عالم المضادة لا "محتواة" في مجموعة بوانكاريه. سنُثري المجموعة لاحقًا لمعالجة هذه الخصائص.

في الوقت الحالي، لا تُنشئ المجموعة الجسيمات والمُضادة الجسيمات. ولكن إذا تم إكمالها بجزئين فرعيين (المكونات الأورثوكرونية الثنائية بالإضافة إلى المكونات ضد الأورثوكرونية الثنائية)، فإنها "تُنشئ" كأنواع منفصلة جسيمات ذات طاقة موجبة وطاقة سالبة.

...إذا كانت مجموعة بوانكاريه الكاملة تُحكم الكون، فربما يمكن لطاقة موجبة وطاقة سالبة أن تتعايش معًا، بحيث ينتج عن تصادمهما ظاهرة انقراض كامل. إذا كان الكون ممتلئًا بنسبة 50% بجسيمات طاقتها موجبة وبنسبة 50% بجسيمات طاقتها سالبة، فهناك خطر كبير أن يندثر الكون كاملاً، دون أن يبقى شيء:

• لا جسيم طاقته موجبة.
• لا جسيم طاقته سالبة – لا فوتون طاقته موجبة
• لا فوتون طاقته سالبة.

لا شيء. لا شيء على الإطلاق. ما أشقّ ذلك!

...كما يشير سوريو، فإن الله، بحكمة لا نهائية، خلق فقط جسيمات طاقتها موجبة وفوتونات طاقتها موجبة. وبالمثل، فإن ملائكته تمنع استخدام المكونات ضد الأورثوكرونية لمجموعة بوانكاريه، والتي تُحتجز بدقة في مكان ما.

...سنفكر في احتمال آخر في قسم لاحق.

الفهرس: نظرية المجموعات الديناميكية