a4124
| 24 |
|---|
مجموعة جاليليو الخاصة.
...سيجد القارئ هذه التوسعة في كتاب سوريو: هيكل الأنظمة الديناميكية، دار نشر بيركهاوزر، 1997، وباللغة الفرنسية: هيكل الأنظمة الديناميكية، دار النشر دونود، 1973.
...يمكن توسيع المجموعة. ويعني ذلك أن عدد المعاملات التي تعتمد عليها سيزداد. احسب عدد المعاملات التي تعتمد عليها مجموعة جاليليو. نبدأ من مصفوفة الدوران الثلاثية الأبعاد:
(322)
إنها مصفوفة متعامدة:
(323)
تشكل هذه المصفوفات مجموعة SO(3)، وهي مجموعة فرعية من مجموعة O(3) التي تتكون من جميع المصفوفات المتعامدة. لدينا:
(324)
نذكّر الفرق مع:
(325) (325b)
هي المصفوفات المتعامدة العامة، وتحتفظDeterminants بشرط:
(326)
نهاية هذه الملاحظة.
المجموعة التالية من المصفوفات المربعة (5,5) ستُسمى مجموعة جاليليو الخاصة:
(327)
تتوقف مصفوفة الدوران على ثلاثة معاملات حرة، وهي زوايا أويلر. وبالتالي فإن بعد المجموعة هو عشرة.
باستخدام الترميزات:
(328)
نحصل على:
(329)
مرتبطة بمتجه الفضاء-الزمن:
(330)
بحيث تكون التأثير المقابل لمجموعة جاليليو الخاصة هو:
(331)
...بالنظر إلى مجموعة جاليليو الخاصة، من الممكن حساب تأثير المجموعة على فضاء الزخم الخاص بها. لن نقدم هذا الحساب هنا. يمكن للقارئ العثور عليه في محاضراتي حول المجموعات، المتاحة.
نعطي النتيجة:
(332)
نُعرّف الزخم p والطاقة E. يتكون الزخم من:
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...عشرة كميات قياسية. عشرة أبعاد للمجموعة. لا يزال لدينا متجه الانتقال f ومصفوفة الدوران المتماثلة من الدرجة الثانية l (مكوّنة من ثلاث مكونات مستقلة lx , ly , lz، التي تشكل "متجه اللحظة الزاوية").
التوسعة البسيطة لمجموعة جاليليو الخاصة.
المصفوفات التالية تشكل مجموعة جديدة.
(334)
تُدخل مكونًا جديدًا f، قياسيًا، يُسمى "الحالة" (مرتبط بالعالم الكمي). يصبح بعد المجموعة 10 + 1 = 11.
تؤثر هذه المجموعة الجديدة على فضاء ذي خمسة أبعاد:
(335)
z هي "بعد إضافي". تم تقديمها لأول مرة من قبل البولندي كاليزا في عام 1921، ثم من قبل جيه. إم. سوريو في عام 1964 (الهندسة والنسبية، دار النشر هيرمان، غير مترجمة إلى الإنجليزية).
مرة أخرى، يمكن حساب التأثير المرافق المقابل للمجموعة على فضاء الزخم الخاص بها. نحصل على ما يلي:
(336)
يصبح الزخم:
(337) JTESG = { m , E , p , f , **l **}
...لدينا كمية قياسية إضافية m ونُعرّفها بالكتلة. نلاحظ أن مجموعة جاليليو الخاصة، عند تأثيرها على الفضاء-الزمن، تُدخل الطاقة، ولكنها لا تُدخل الكتلة كمكوّن في الزخم. حاليًا (من خلال التوسعة البسيطة)، تحصل جسيماتنا على صفة إضافية، تُعرّف بالكتلة، بشكل عشوائي تمامًا، ولا تتفاعل مع المكونات الأخرى للزخم.