a4125
| 25 |
|---|
امتداد غير تافه لمجموعة غاليلو الخاصة.
مجموعة بارغمان (1960)
المصفوفات التالية (انظر محاضراتي حول المجموعات)
(338)
تشكل مجموعة، اكتشفها بارغمان في عام 1960. مرة أخرى، تعمل هذه المجموعة على فضاء خماسي الأبعاد. وحجمها 11، وذلك بسبب وجود القيمة العددية ( f ). إنها امتداد غير تافه لمجموعة غاليلو الخاصة.
(339)
إذا حسبنا التأثير المزدوج للمجموعة على زخمها، نحصل على:
(340)
...نلاحظ أن هذا التأثير المزدوج أكثر دقة، وأن الكتلة تتفاعل مع المكونات الأخرى للزخم. وقد قمنا بتحليل ذلك سابقًا وأظهرنا كيف يمنح هذا المعنى الفيزيائي لمكونات الزخم.
...الزخم هو حركة جسيم معين. مجموعة بارغمان تصف الحركات غير النسبية. يمكننا التفكير في جسيم ساكن، بدون طاقة، بدون زخم، بدون دوران. فقط كتلة غير صفرية:
( m )
( \mathbf{p} = 0 )
( E = 0 )
( f = 0 )
( \mathbf{l} = 0 )
نستخدم العنصر التالي من مجموعة بارغمان:
(341)
تتحول مكونات الزخم إلى:
(342)
...في نظام إحداثيات مرتبط بالجسيم، يبقى التمرير ( f ) صفرًا. أظهرنا أن مصفوفة الدوران تتطابق مع الزخم الزاوي.
...ما هو مهم هنا هو دراسة الامتداد التافه لمجموعة غاليلو الخاصة (لماذا "خاصة"؟ سيتم شرح ذلك لاحقًا). عند إجراء هذا الامتداد التافه، فإنه يضيف ببساطة عددًا عدديًا إضافيًا إلى الزخم.
لننظر الآن إلى امتداد مجموعة باينكاريه:
الامتداد المركزي لمجموعة باينكاريه. (343)
"ep" تعني "مجموعة باينكاريه الموسعة". ( L_o ) هو عنصر المجموعة الجزئية الزمنية الموجبة ( L_o ) من مجموعة لورنت الكاملة ( L ). وبالتالي، يمكن اعتبار العنصر أعلاه كمجموعة جزئية زمنية موجبة ( G_{epo} ) لمجموعة باينكاريه الموسعة الكاملة، حيث يكون عنصرها:
(344)
كلاهما يعمل على فضاء خماسي الأبعاد:
(345) ( (t, x, y, z, z) )
يمكن إثبات أن هذا الامتداد لا يمكنه دعم حدود غير صفرية في السطر الأول، بدلًا من ( 0 = (0\ 0\ 0) )، بين 1 و ( f ).
...كما أظهر ج.م. سوريو، فإن طريقة التكميم الهندسي (طريقة كستانت-كيرويلوف-سوريو) تسمح باشتقاق معادلة شرودنغر من مجموعة بارغمان، ومعادلة كلاين-غوردون من مجموعة باينكاريه الموسعة ( هيكل الأنظمة الديناميكية، دونود، 1972). علاوة على ذلك، يضيف هذا الامتداد المركزي للمجموعة عددًا عدديًا إضافيًا إلى الزخم (كما في الامتداد التافه لمجموعة بارغمان):
(346)
( \mathbf{J}_{ep} = { c, \mathbf{M}, \mathbf{P} } = { c, \mathbf{J}_p } )
حيث يمثل ( \mathbf{J}_p ) الزخم الكلاسيكي لمجموعة باينكاريه. إذًا، يصبح التأثير المزدوج للزخم ببساطة:
(347)
الحساب ليس معقدًا، ويشابه الحساب المذكور سابقًا. نحسب التأثير العكسي:
(348)
ثم تُعبّر الدوالية عن ثبات العدد التالي:
(349)
...نحصل بذلك على عدد عددي إضافي ( c )، الذي يُحفظ ببساطة من خلال التأثير المزدوج. منذ ذلك الحين، لم يُعطَ لهذا العدد أي تفسير فيزيائي. سنوضح كل شيء في ما يلي. من الواضح أنه يمكن تمديد المجموعة عددًا لا نهائيًا من المرات:
(350)
في كل مرة، نضيف عددًا عدديًا إضافيًا
(351) ( \mathbf{J}{pe} = { c_1, c_2, c_3, \dots, \mathbf{M}, \mathbf{P} } )
( \mathbf{J}{pe} = { c_1, c_2, c_3, \dots, \mathbf{J}_p } )
ويصبح التأثير المزدوج:
(352)
قد يقول القارئ: "حسنًا، لماذا لا نضيف 57 عددًا عدديًا جديدة؟"
فلنضيف ستة فقط ونُعرف هذه الأعداد الجديدة بـ
(353)
( c_1 = q ) (الشحنة الكهربائية)
( c_2 = cB ) (الشحنة الباريونية)
( c_3 = cL ) (الشحنة اللبتونية)
( c_4 = cm ) (الشحنة الميونية)
( c_5 = ct ) (الشحنة التاونية)
( c_6 = v ) (معامل الجيرومغناطيسي)
تؤثر المجموعة على الفضاء العشري التالي:
(354) ( (x, y, z, t, z_1, z_2, z_3, z_4, z_5, z_6) )
أي: الزمكان بالإضافة إلى ستة أبعاد إضافية.
(355)
نذكّر أن هذه المجموعة تُبنى من المجموعة الجزئية الزمنية الموجبة
( L_o = L_n ) (المكون المحايد) ( \cup ) ( L_s ) (التي تمثل الانعكاس المكاني)
من مجموعة لورنت الكاملة ( L ).
يصبح الزخم:
(356)
( \mathbf{J}_{pe} = { q, cB, cL, cm, ct, v, \mathbf{J}_p } )
حيث ( \mathbf{J}p ) هو الجزء من الزخم المقابل لمجموعة باينكاريه ( G{op} ) (المجموعة الجزئية الزمنية الموجبة).
ما هو المعنى الفيزيائي؟
...الزخم ينتمي إلى فضاء، وهو متعدد الأبعاد من الدرجة ( n ). تمتلك مجموعة باينكاريه عشرة أبعاد، وبالتالي يتكون زخم مجموعة باينكاريه من عشر كميات.
ثم نضيف ستة أبعاد إضافية للمجموعة، تقابل المراحل الإضافية:
(357)
( f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6 )
يصبح الزخم:
(358) ( \mathbf{J}{pe} = { J_1, J_2, J_3, J_4, J_5, J_6, J_7, J_8, J_9, J{10}, J_{11}, J_{12}, J_{13}, J_{14}, J_{15}, J_{16} } )
نقرر أن من بين مجموعة الأعداد العددية
(359) ( \mathbf{J}p = { J_7, J_8, J_9, J{10}, J_{11}, J_{12}, J_{13}, J_{14}, J_{15}, J_{16} } )
نُعرف الطاقة ( E )، الزخم ( \mathbf{p} )، التمرير ( f )، والمصفوفة المتماثلة المعاكسة للدوران ( \mathbf{l} ).
...يمكن أن تأخذ ( E ) و ( \mathbf{p} ) جميع القيم الممكنة، لكن الحجج الكمية تفرض ثبات مقدار ( s ) لمتجه الدوران (في نظام إحداثيات مرتبط بالجسيم)، وهو ما لا يمكن تبريره هنا، ويتوافق مع عمل سوريو.
لدينا ستة أعداد عددية إضافية:
(360) ( J_1, J_2, J_3, J_4, J_5, J_6 )
...نقرر أنه من بين عدد لا نهائي من الخيارات الممكنة، بعض الاختيارات المنفصلة تتوافق مع جسيمات حقيقية (وأجسام مضادة). إذًا، في المتعدد العشري 16 المقابل لفضاء الزخم، نختار حركات منفصلة متوافقة مع الجسيمات، ذات أعداد كمّية محددة
(361) ( { q, cB, cL, cm, ct, v } )
...حتى الآن، يضمن التأثير المزدوج للمجموعة ببساطة الحفاظ على هذه الكمية، على طول الحركات المعطاة. هناك "أعداد كمّية ساكنة" تمامًا كما ظهرت الكتلة ككمية ساكنة عندما نشأت من الامتداد التافه لمجموعة غاليلو الخاصة.