| 2 |
3 - البديهية الثالثة لنظرية الزمر:
يجب أن يمتلك كل عنصر من عناصر الزمرة معكوسه، مكتوبًا g-1، ومعرّفًا بالعلاقة:
(15)
g × g-1 = g-1 × g = 1
في مثالنا:
(16)
أي: b = - a أو:
(17)
g-1 ( a ) = g ( - a )
هنا يكون حساب المصفوفة المعكوسة بديهيًا.
ما هو الشرط اللازم لكي تمتلك مصفوفة مربعة معطاة معكوسها؟
...يمكننا أن نقرن بكل مصفوفة مربعة عددًا قياسيًا يسمى المحدد. للتعريف انظر أي كتاب مخصص لـالحساب الخطي. يُرمز لهذا المحدد بالرمز: det ( g )
إضافة إلى ذلك لدينا مبرهنة عامة:
det (g1 × g2) = det (g1 ) × det (g1 )
محدد المصفوفة القطرية هو:
(18)
ونتيجة لذلك:
det ( 1 ) = 1
لأن 1 مصفوفة قطرية.
من تعريف معكوس المصفوفة:
g × g-1 = g-1 × g = 1
إذن:
(19)
det ( g × g-1 ) = det (g) × det (g-1 ) = 1
...إذا كان det (g) = 0 فإن الشرط (19) لا يمكن تحقيقه. مجموعات المصفوفات التي تمتلك عناصرها الخاصة محددًا معدومًا لا تحقق البديهية الثالثة، ولا يمكنها أن تشكل زمرة.
بالمناسبة:
(20)
4 - البديهية الرابعة لنظرية الزمر:
يجب أن يكون الضرب تجميعيًا، أي:
(21)
( g1 × g2 ) × g3 =g1 × ( g2 × g3 )
ضرب المصفوفات تجميعي في الأساس.
بُعد الزمرة:
...كما سنرى، يمكن لزمرة أن تؤثر على فضاء تُوصف نقاطه بمتجهات عمودية. على سبيل المثال نقاط الزمكان (وتسمى "أحداثًا"):
(22)
...هذا فضاء رباعي الأبعاد. يمكن لزمر مختلفة أن تؤثر عليه. لكن بُعد الزمرة لا علاقة له ببُعد الفضاء الذي تؤثر عليه.
بُعد الزمرة (من المصفوفات) هو عدد
الوسائط التي تعرّف هذه المصفوفة المربعة.
لقد أعطينا مثالًا لمصفوفات معرّفة بوسيط واحد
a
بحيث يكون بُعد هذه الزمرة واحدًا.
لاحظ أن:
(22-bis)
ملاحظة:
ليست كل زمر المصفوفات تبديلية، رغم أن الزمرة التي درسناها تمتلك هذه الخاصية:
(23)
إذا أثرت زمرة كهذه على متجه عمودي يوافق فضاء ثنائي الأبعاد:
(23 bis)
فإنها توافق دورانًا حول نقطة ثابتة في مستوٍ:
(23 ter)
هذه العملية تبديلية بوضوح.
ستميل إلى القول: "مثل كل زمر الدورانات".
...أنت مخطئ. اعتبر الدورانات حول محاور تمر بنقطة معطاة O. اجمع دورانين متتاليين حول محورين مختلفين. هذا ليس تبديليًا.
تمرين: بيّن أنه باستخدام نظام محاور متعامدة (OX, OY, OZ)، فإن الدورانات المركبة حول هذه المحاور ليست عملية تبديلية.. خذ أي جسم.
- قم بدوران +90° حول OX، ثم دوران +90° حول OZ
عُد إلى الشروط الابتدائية ثم:
- قم بدوران +90° حول OZ، ثم دوران +90° حول OX
قارن النتيجتين.
فعل الزمرة.
...تتكون الزمرة G من مصفوفات مربعة g. يمكن ضربها.
سنقول إن زمرة ما يمكن أن تؤثر على نفسها.
يمكن للزمرة أيضًا أن تؤثر على فضاء مكوّن من نقاط توصف بمتجهات عمودية.
مثال:
(24)
إذا كتبنا:
(25)
فإن فعل الزمرة على هذا الفضاء يصبح:
(26)
g × r
...في هذه الحالة الخاصة يتماهى الفعل على الفضاء مع ضرب المصفوفات البسيط.
لكن مفهوم الفعل أعم بكثير.
