| 13 |
زمر غاليليو (الزمرة الموجهة في الزمكان والكاملة).
يمكننا اقتراح أسماء مختلفة لهذه الزمرة.
GGSOTO (غاليليو الموجه فضائياً والموجه زمانياً)
أو:
GSG (زمرة غاليليو الخاصة).
أو ببساطة:
SG(3,1): زمرة غاليليو الخاصة.
3 أبعاد للمكان، و1 للزمان. تذكّر أننا كتبنا فعل زمرة PT كما يلي:
(158)
ثم انتقلنا إلى زمرة موجهة في المكان والزمان. كان بإمكاننا بالمثل كتابة فعل زمرة كهذه:
(159)
هذه زمرة جزئية من زمرة أكثر تنقيحاً:
(160)
"زمرة غاليليو الموجهة في المكان والزمان". مع:
(161)
الفعل الموافق هو:
(162)
هذه زمرة أحادية المكوّن (متصلة). وهي زمرة جزئية من زمرة غاليليو الكاملة ذات المكوّنات الأربعة:
(163)
التي تحكم تناظرات P وT وPT:
(164)
وتنشأ أيضاً مشكلة الأجسام المضادة للزمن (كما سيُفعل لاحقاً، لكن على أسس نسبية).
الحركات.
الأجسام الهندسية رباعية الأبعاد هي "هولوغرامات متحركة". في البنية رباعية الأبعاد يمكننا إجراء قطع، في أزمنة متتالية. كل قطع جسم ثلاثي الأبعاد، مكوّن من نقاط
(xi,yi,zi)
الأمر أبسط إذا اعتبرنا جسماً نقطياً يتحرك في الزمكان. عندئذ تصبح البنية الزمكانية المدروسة مسارات، أي حركة.
...نقرر تمثيل جسيمات الفيزياء بحركات نقاط. إما أن تكون "نقاط كتلية"، أو طاقة نقطية (فوتونات، نيوترينوات).
...يمكننا اعتبار كل الحركات الممكنة لكل الجسيمات الممكنة وإدراجها في
(165)
فضاء الحركات.
...في الزمكان يمكننا إيجاد كل المسارات الممكنة للفوتونات والبروتونات والنيوترونات والنيوترينوات ومضادات البروتون، وما إلى ذلك. نعتبر عدداً لا نهائياً من المواقع الممكنة والسرعات وغيرها من المعاملات، التي سيُكشف عنها. ضمن هذه اللانهاية من المسارات توجد المسارات التي تشير إلى جسيم معطى: إلكترون، مثلاً. ومسارات أخرى تشير إلى الفوتون. وهي مختلفة. تشكّل عائلتين متمايزتين، أي
نوعين متمايزين من الحركات.
نبحث عن كيفية تصنيف الجسيمات. ثم نبحث عن كيفية تعريف أنواع الحركات.
سنستخدم طريقة مشابهة لطريقة إقليدس. السؤال المركزي هو:
ما "الأجسام" التي تنتمي إلى النوع نفسه؟
...الجواب: تلك التي يمكن وضع بعضها على بعض عبر فعل عناصر زمرة تنتمي إلى زمرة جزئية تُسمى انتظامية تلك الأجسام.
...في عالم إقليدس لا يمكنك تحويل كرة إلى مكعب، والعكس بالعكس. فهما ينتميان إلى نوعين متمايزين. لا توجد زمرة جزئية تجعل تحويل الكرات إلى مكعبات، والعكس بالعكس، ممكناً.
...وبالمثل، في زمرة ما، سيُعرَّف عنها لاحقاً، لا يوجد عنصر ينتمي إلى زمرة جزئية ما يجعل تحويل حركة فوتون إلى حركة إلكترون ممكناً. فهما مختلفان جوهرياً، وينتميان إلى نوعين متمايزين.
إذا وُجد عنصر في الزمرة يحوّل فعله حركة إلى حركة أخرى، فإن هاتين الحركتين تشيران إلى النوع نفسه. وهما حركتان مختلفتان لجسيم واحد.
...لن نتعامل مع أنظمة متعددة الجسيمات، كالذرات والجزيئات. سنركّز على تحليل الجسيم الحر، المبحِر في فضاء فارغ. عندئذ، خلال هذا الإبحار، يُحفظ عدد معيّن من المعاملات (الكتلة، الطاقة، وغيرها...)
لكن مجرد فحص المسار الزمكاني لجسيم لا يكفي لتحديد هويته ووضعه في نوع محدد.
-
يمكن لبروتون ونيوترون أن يبحِرا على المسار نفسه، بالسرعة نفسها.
-
يمكن لجسيمين أن يتبعا المسار نفسه، عند v = c، لكن أحدهما قد يكون فوتوناً والآخر نيوترينو.
-
كما سنرى لاحقاً، يمكن لفوتونين يتبعان المسار نفسه، في الاتجاه نفسه، بسرعة الضوء، أن يكونا مختلفين. فهما متناظران بالنسبة إلى P.
-
أحدهما يمتلك لولبية يمنى.
-
والآخر لولبية يسرى.
هذا يوافق استقطاب الضوء. هل ينتميان إلى نوعين متمايزين؟ يتوقف على الزمرة التي نختارها.
النوع نسبي بالنسبة إلى زمرة معطاة.
الزخم.
...الحركة اختيار خاص، نقطة في فضاء الزخم. لنعتبر حركات من نوع لا يختلف إلا في الكتلة. نأخذ نوعين. جسيم كتلته ma لا يمكن تحويله إلى جسيم كتلته mb. حتى لو أمكن أن تكون مساراتهما متطابقة في الزمكان، نعتبرهما حركتين مختلفتين لنوعين متمايزين أو:
نوعين متمايزين من الحركات.
(166)
الزخم مجموعة من المعاملات:
J = { J1 , J2 , J3 , ........, Jn }
إحداها الطاقة
J1 = E .
وثلاث أخرى:
( J2 = px , J3 = py , J4 = pz )
تشكّل متجه الاندفاع p، وكلها كميات مألوفة لدى الفيزيائيين.
...يمكن أن تنشأ هذه الكميات ككميات هندسية محضة، مرتبطة مباشرة بالزمرة المختارة. سترى لاحقاً أن عدد الكميات التي تشكّل الزخم يساوي بُعد الزمرة.
...ثم ما قواعد اللعبة التي سنلعبها؟
