| 14 |
المشروع.
...ستكون نقطة انطلاقنا زمرة ديناميكية G، أي عائلة من المصفوفات المربعة g.
...ديناميكية: لأن الزمن متضمن.
...لهذه الزمرة بُعد معين n. وقد تؤثر على فضاء X، له بُعده الخاص (الذي لا علاقة له ببُعد الزمرة، هذا الأخير هو عدد الوسائط المستقلة التي تعرّف كل مصفوفة g من المجموعة المكوِّنة للزمرة G).
...الآن نحتاج إلى فعل، لتعريف فضاء تؤثر عليه الزمرة، ألا وهو فضاء زخمها. هذا الفضاء ليس الزمكان الذي يُفترض أن تنتقل فيه الجسيمات. بناء مثل هذا الفضاء سيأخذنا إلى بلاد غريبة، ستبدو كأرض فصامية. لكن إن اتبعت هذا الطريق فستكون أقرب إلى الواقع الفيزيائي مما كنت يومًا.
...حين يكون لدينا فضاء نلعب به، وفعل نؤثر به، سنصنّف حركات-الزخم إلى أنواع ونطابق هذه الأنواع مع الجسيمات الأولية.
...قلنا أعلاه إن جداء زمرة بمتجه، الموافق لـ SO(2) وO(2)، وكذلك SO(3) وO(3)، يوافق فعلًا:
g x r
أي:
(166b)
لاحظ أنه يمكننا كتابته بالطريقة المكافئة:
(167)
بالنسبة لزمرة إقليدس الموجهة وزمرة إقليدس الكاملة، علينا كتابة فعل:
(168)
لكن هذه الأفعال، وكذلك الأفعال المقابلة لزمر الديناميكا على الفضاء، مثل:
(169)
لا تعطي... شيئًا. إنها تحمل فقط أجسامًا في الفضاء، أو الزمكان، أو فضاءات أكثر تنقيحًا (فضاء خماسي الأبعاد، فضاء عشاري الأبعاد).
علينا البحث عن شيء "مخفي تحت الزمرة": فضاء زخمها (كل زمر المصفوفات تملك واحدًا) و
فعلها المرافق على فضاء زخمها.
الموافق للفيزياء الحقيقية.
ما هي الفيزياء؟
...سؤال جيد. اخترع الرياضي الفرنسي جان-ماري سوريو مفهوم الفعل المرافق لزمرة على فضاء زخمها، وأظهره في أوائل السبعينيات. سيُطوَّر هذا فيما يلي.
...بالطبع، سيسأل الفيزيائي، في نهاية الحساب
لماذا؟
...بعبارة أخرى، إنه يعمل، لكن هل يمكننا إعطاء معنى فيزيائي لهذا المفهوم، مفهوم الفعل المرافق لزمرة ديناميكية على فضاء زخمها. يبدو أن الجواب لا.
...تخيل أنك تلميذ لأرسطو. فجأة تخطر لك حدسية وتخترع كلمة جديدة لتسميتها:
القصور الذاتي.
...يصل أرسطو. لقد حذّره تلاميذ آخرون بأنك اخترعت شيئًا جديدًا، فيسأل:
- هل يمكنك أن تشرح لنا ما معنى القصور الذاتي؟
ستكون عاجزًا عن ذلك، مستخدمًا كلمات أرسطو. ستكون قد واجهت تحولًا نمطيًا.
اقفز إلى العصور الوسطى. حاول شرح تفاعل كيميائي بمفردات العناصر الأربعة. مستحيل أيضًا...
الفعل المرافق لزمرة على فضاء زخمها تحول نمطي. إنه رؤية جديدة للفيزياء.
في الواقع، يتعامل الفيزيائيون مع أفعال الزمر طوال الوقت حين يتحدثون عن "اللاتباين"، وقوانين الحفظ".
سيسأل مثل هذا الفيزيائي التقليدي:
- هل يمكنك أن تشرح لي ما معنى الفعل المرافق لزمرة على فضاء زخمها، بكلمات بسيطة، إن أمكن؟
نجيب:
-
لماذا تستخدم قوانين الحفظ في الفيزياء؟
-
آه... لأن هناك كميات محفوظة: الطاقة، الكتلة، الشحنة الكهربائية...
-
لماذا هي محفوظة؟
-
لكنه مبدأ أساسي!...
-
يا صديقي العزيز، اعتبر الفعل المرافق لزمرة على فضاء زخمها مبدأً أساسيًا.
-
ماذا تعني؟
-
أي فيزياء تقوم على بنية زمرة. إن حددت الزمرة، يمكنك بناء فعلها المرافق وفضاء زخمها المقابل. عندئذ تكون مركبات الزخم هي الكميات الفيزيائية المقابلة.
-
........
تحذير. إن كنت فيزيائيًا (حتى فيزيائيًا نظريًا...) وقرأت ما يلي فستخضع لتحول نمطي. بعد ذلك ستكون الفيزياء ببساطة... مختلفة.
الأفعال.
ما هو الفعل؟
شيء مرتبط بزمرة، يخضع للمسلّمات التالية:
(170)
بالطبع، بالنسبة لزمر المصفوفات، عملية التركيب هي:
x
(ضرب مصفوفي سطر-عمود)
بالنسبة لزمر المصفوفات يمكننا كتابة:
(171)
اعتبر المتجه العمودي:
(172)
حيث x، على سبيل المثال، يمثل متجهات
(173)
هل
(174)
يستوفي مسلّمات الفعل؟ ليكن g وg' عنصرين من الزمرة G.
(175)
(175b)
يجب أن يكون لدينا:
(176)
Ag ( Ag'(x)) = Ag"(x)
أي:
(177)
بموجب خاصية التجميع:
(178)
g" = g x g'
هو فعل زمرة.
...لاحظ أننا وضعنا العنصر g من الزمرة G على اليسار. ماذا يحدث إن وضعناه على اليمين؟ عندئذ يجب جمعه مع مصفوفة سطر y.
(179)
Ag(y) = y x g
هل هو فعل؟
