a4115

نحتاج إلى:
(180)

Ag
( Ag'(y)) = Ag"(y)

Ag(y)
= y x
g

Ag'(y)
= y x
g'

Ag
( Ag'(y)) = y x
g' x g

لكن:

جداء مصفوفتين ليس تبديلياً بشكل عام. وكاستنتاج:
(181)

Ag(y)
= y x g

ليست فعل مجموعة: فهي لا تحقق البديهيات المذكورة أعلاه. لكنها تحقق بديهيات أخرى، تقابل "فعل مضاد".
(182)

بالنسبة للمصفوفات:
(183

لا نزال نبحث عن الأفعال والأفعال المضادة. من المتجه x يمكننا بناء المتجه المنقول ومحاولة:
(184)

هل هو فعل؟ لنبدأ.

g" = g
x g'

(185)

(186)

هنا نستخدم مبرهنة من حساب المصفوفات الخطي:
(187)

M -1
x N
= ( N x
M ) -1

حيث M و N مصفوفتان اعتباطيتان من الرتبة (n,n). ومنه:
(188)

g' -1
x g-1 = ( g x
g' ) -1
= g" -1

و:
(189)

وهذا فعل مجموعة. لننظر الآن إلى:
(190)

Ag(m)
= g x mx g-1

أثبت أنه فعل. سننظر في المصفوفات الثلاث التالية.
(191)

g

g'

g" = g
x g'

Ag(m)
= g x
m x g-1

Ag'(m)
= **g'**x
m x
g' -1

Ag"(m)
= g" x
m x
g" -1

نحتاج إلى:
(192)

Ag(Ag'(m))
= Ag"(m)

نكوّن الطرف الأول:
(193)

g x (g'
x m
x g'
-1) x g-1

أي:
(194)

g x
g'x
m x
g' -1
x
g -1

أي:
(195)

(g x
g') x
m x ( g
x g')-1 = g" x
m x
g" -1

إنه فعل مجموعة. سنسميه، بعد سوريو:
الفعل المرافق:
(193)

سننظر الآن في فعل مضاد للمجموعة على مصفوفة m.
(194)

AAg(m)
= g -1 x
m x
g

أثبت أنه يحقق:
(195)

AAg'(Ag(m))
= Ag"(m)

نكوّن الطرف الأول:
(196)

g'-1 x
(g -1 x
m x
g) x
g'

أي:
(197)

g' -1
x
g -1
x
m x
g x
g'

أي:
(198)

(g x
g') -1
x
m x
( g x
g')

أي:
(199)

g" -1
x
m x
g"

فهرس نظرية الزمر الديناميكية