| 16 |
نحتاج إلى:
أفعال مزدوجة.
بنينا، أعلاه، فعلاً:
(200)
وفعلاً مضاداً:
(201)
يمكن أن يشير الأول إلى أي متجه عمود m:
(202)
m' = g xm
والثاني إلى أي متجه سطر n:
(203)
n' = n
x g-1
m ينتمي إلى فضاء معين M
n ينتمي إلى فضاء آخر N.
شكّل الكمية القياسية:
(204)
S = n m
لاحظ أن:
(205)
n' m' =
n x g-1
x g xm
...سنقول إن الفعلين المدروسين مزدوجان. وبالمثل فإن الفضاءين M و N، اللذين ينتمي إليهما m و n، هما فضاءان مزدوجان:
N = M* أو M = N*
عادةً، نقول إنه إذا كان m متجهاً، فإن n هو متجهه المرافق.
البادئة co مميزة للازدواجية. وكما لاحظ سوريو، فإن الازدواجية موجودة في السياسة ويضيف:
- كانت الازدواجية حاضرة في الماركسية اللينينية منذ البداية. فكّر في المونيست والشيوعي.
خذ وجهة نظر أخرى. لنفترض أن لدينا فعلاً واحداً، ونريد بناء فعله المزدوج.
بشكل تخطيطي:
(206)
...من أجل تكوين جداء قياسي مع المتجه العمود m، يجب أن يكون n متجه سطر. عندئذٍ يجب تعريف هذين المتجهين بالعدد نفسه من الكميات القياسية:
(207)
ثم نبحث عن الفعل المزدوج:
(208)
n' = Ag(n)
بحيث يكون الجداء القياسي:
(209)
ثابتاً. يجب أن يكون لدينا:
(210)
n' m'
= n m
لدينا:
(211)
m' = g
x m
(212)
Ag(n)
x g
x m
= n m
وحله هو:
(213)
Ag(n)
= n x g-1
نحو بناء الفعل الأساسي، أو الفعل المرافق للزمرة على زخمها (بعد سوريو).
نبحث عن فعل للزمرة على "فضاء زخمها". سنبنيه كفعل مزدوج لفعل مضاد:
(214)
AAg(m)
= g-1 x
m x g
...في القسم السابق كان m متجهاً. لكنه في (214) مصفوفة. سنأخذ مصفوفة تعتمد على عدد معين من الوسائط:
{ m1 , m2 , . . . .
, mn }
يجب أن نتصور مجموعة مزدوجة من الكميات القياسية:
{ n1 , n2 , . . . .
, nn }
بحيث:
(215)
بشكل تخطيطي:
(216)
