| 17 |
اختيار المصفوفة m.
...يمكن مقارنة زمرة G بسطح معين. وهو يعتمد على عدد معين من الوسائط. لتكن P هذا الفضاء الخاص بوسائط الزمرة، ولتكن p نقطة من هذا الفضاء. إن عدد هذه الوسائط pi هو بُعد الزمرة.
(217)
المُبيَّن: العنصر المحايد e (مصفوفة الوحدة 1).
يمكننا إعطاء زيادة dp:
(218)
...ثم نفرق المصفوفة g التي هي عنصر الزمرة. فنحصل على مصفوفة مربعة dg لا تنتمي إلى الزمرة. ويُسمى هذا "المتجه المماس للزمرة". وتشكل هذه المتجهات المماسة ما يُسمى "جبر لي" للزمرة (وهو ليس جبرًا، بالمناسبة).
اخترنا التفريق في جوار العنصر المحايد:
(219)
واخترنا الفعل المضاد التالي:
(220)
AAg(m) = g-1 x dg(g=e) x g
ملاحظة:
لماذا نختار المتجه المماس للزمرة عند g = 1؟
...كان بإمكاننا استخدام متجه مماس dg أكثر عمومية عند أي نقطة من الزمرة. كنا سنحصل على النتيجة نفسها، لكن الحساب كان سيكون أكثر إرهاقًا بكثير.
بُعد الزمرة هو n. والمصفوفة g تعتمد على n من الوسائط { pi }..
عنصر جبر لي dg(g=e) يعتمد على العدد نفسه من الوسائط {d pi}.
إن حساب الفعل المضاد أعلاه سيوفر التطبيق:
(221)
{ d pi } -----> { d pp'i }
نُدخل العدد نفسه من الكميات القياسية:
{ J i }
نسمي هذه المجموعة الزخم J للزمرة.
J = { J i }
إنها مجموعة من n كمية، n من الكميات القياسية. أحيانًا يمكننا وضعها في مصفوفة (فعل بوانكاريه على زخمها).
{ J i } هو المتجه المماس المشترك { d p i } للمتجه المماس للزمرة. تعطي الثنائية:
(222)
من هذا الحفاظ على الجداء القياسي، إذا عرفنا التطبيق:
(223)
{ d p i } -----> { d p' i }
يمكننا بناء التطبيق الثنائي:
(224)
{ J i } -----> { J 'i }
هذا هو الفعل الجوهري الذي نبحث عنه، ويسميه سوريو الفعل المرافق للزمرة على فضاء زخمها.
أفضل طريقة لتوضيح هذا المفهوم هي إعطاء مثال:
الفعل المرافق لزمرة بوانكاريه على فضاء زخمها Jp.
أعلاه، عرضنا زمرة لورنتز المعممة. باختيار:
(225)
نحصل على زمرة لورنتز L التي يخضع عنصرها L للتعريف البديهي:
(226)
متجه الزمكان هو
(227)
مع c = 1 نحصل على الصيغة التربيعية الأولية، مقياس مينكوفسكي:
(228)
المصفوفة العكسية هي
(229)
نُدخل الآن إزاحة زمكانية:
(230)
نبني العنصر gp لزمرة بوانكاريه Gp كما يلي:
(231)
تمرين: بيّن أنها تشكل زمرة واحسب المصفوفة العكسية:
(232)
عنصر جبر لي هو
(233)
والفعل المضاد:
(234)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
نلاحظ أن
(235)
G d L
مصفوفة متناظرة عكسيًا. نسميها:
(236)
ومن ثم:
(237)
لنضع:
(238)
من هذا، يمكننا بناء الفعل المضاد:
(239)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
وهو سيعطينا التطبيق:
(240)
(240b)
(240c)
هو التطبيق المطلوب:
(241)
