أ4118

...يُعرَّف عنصر gp من زمرة بوانكاريه Gp بمجموعة من الوسائط {pi}، وعددها هو، بحكم التعريف، بُعد الزمرة. وتُبنى المصفوفة dg (g=e) من المجموعة {dpi}. لذا فإن التطبيق السابق يقابل الفعل المضاد:
(242)

AA : {dpi}
--> {dpi'}

لإدخال الثنائية وبناء التطبيق الثنائي، نفترض ثبات المقدار القياسي:

(243)

بُعد زمرة بوانكاريه هو 10، ومن ثم لدينا عشرة مقادير قياسية { Ji }، وهي مكوّنات العزم Jp.

Jp
= { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }

نقرر تقسيم هذا إلى كائنين:
(244)

Jp= { M , P }

الأول، M، مصفوفة (4,4) متخالفة التماثل.

P هو المتجه الرباعي (4,1)
(245)

ثم:
(246)

Jp=
{ M , P } = { M , p , E}

اكتب الجداء القياسي على النحو التالي:
(247)

Tr تعني الأثر. ثبات الجداء القياسي يعطي
(248)

مع:
(249)

(249b)

(249c)

لكن GG = 1. ثم:
(250)

(250b)

(251)

أي:
(252)

(252b)

(252c)

(253)

يمكن وضع هذا الفعل المرافق في صورة مصفوفية:
عنصر زمرة بوانكاريه هو:
(254)

منقوله هو:

(255)

اعتبر المصفوفة:

(256)

اكتب:
(257)

(258)

(259)

والتي ستُطابَق بالمصفوفة:
(260)

إذن Jp هو عزم زمرة بوانكاريه، موضوعًا في مصفوفة، والفعل المرافق هو:
(261)

تمرين: تحقق من أن هذا فعل.
مصفوفة العزم تقابل:
(262)

قطر المصفوفة المتخالفة التماثل M مكوّن من أصفار.
(263)

وهي تعتمد على ستة وسائط.

(264)

( lx , ly , lz , fx , fy , fz )

لنكتب المصفوفة:
(265)

المكوّنات الثلاثة الأخيرة ( fx , fy , fz) تشكّل ما يسميه سوريو متجه العبور f:
(266)

الأولى ( lx , ly , lz) هي المكوّنات المستقلة لمصفوفة متخالفة التماثل (3,3)، والتي يسميها سوريو مصفوفة اللف.
(267)

من ثم:
(268)

المتجه P هو المتجه الرباعي الاندفاع-الطاقة:
(269)

إذن يمكن إظهار عزم زمرة بوانكاريه في صورته الأكثر عمومية:

(270)

وهو يمتلك عشرة مكوّنات:
(271)

Jp
= { E , px ,py , pz , fx ,fy , fz , fx ,fy , fz } = { E**, p , f , l** }

فهرس نظرية الزمر الديناميكية