| 19 |
جسيمات ذات لف مغزلي.
...تصف زمرة بوانكاريه الحركة النسبية لجسم شبيه بالنقطة. وبالمثل تصف زمرة بارغمان الحركة غير النسبية. تنشأ مكوّنات الزخم ككميات هندسية محضة. إنه هندسة الفيزياء.
يألف الفيزيائيون الطاقة E ومتجه الاندفاع p. لكنهم قد يتحيّرون قليلاً إزاء الجسمين الآخرين: العبور f ومتجه اللف المغزلي l. إن شكل مكوّنات الزخم يعتمد على اختيار الإحداثيات.
...لكل زمرة ديناميكية فضاء زخمها الخاص وفعلها المرافق على فضاء الزخم هذا. ولو أننا اخترنا، بدلاً من اختيار العالم النسبي (زمرة بوانكاريه) أولاً، العالم غير النسبي، لكان علينا أن نرجع إلى زمرة بارغمان. للتفاصيل الحسابية انظر محاضراتي عن الزمر.
زمرة بارغمان امتداد غير تافه لزمرة غاليليو:
(272)
كما يرى القارئ، تؤثر هذه الزمرة على فضاء خماسي الأبعاد:
r: الفضاء
t: الزمن
z: متغير إضافي.
...ستُعالَج مسائل المتغير الإضافي أو المتغيرات الإضافية لاحقاً. في هذا الموقع أُعطي أعلاه الحساب الكامل للفعل المرافق لزمرة بوانكاريه. ويمكن أيضاً استخراج حساب الفعل المرافق لزمرة بارغمان على زخمها. وبالمفارقة، فإن الحساب في العالم غير النسبي أعقد إلى حد ما من الحساب في العالم النسبي.
والنتيجة هي ما يلي:
(273)
يتعرف الفيزيائي على بعض الأجسام المألوفة، مثل السرعة:
(274)
والطاقة الحركية:
(275)
m v هو الاندفاع.
السرعة بالنسبة إلى ماذا؟
تغيّر زمرة ما معاملات الحركة، وتمنح جسيماً سرعة v وطاقة حركية E.
يمكننا اختيار التفسير المعاكس، وأن نعتبر الزمرة وجهة نظر خاصة على شيء ما، على جسيم ما.
إذا اعتبرنا الزمرة SO(3)، المصفوفات a، فهذا يعني "منظوراً من زاوية أخرى".
وإذا اعتبرنا الزمرة O(3)، المصفوفات a، فإنها تضيف إمكانية مراقبة "الشيء" عبر مرآة.
إن متجه الإزاحة
(276)
في زمرة إقليدس يضيف "منظوراً من مكان آخر".
في الزمر الديناميكية، يعني وجود سرعة v في الزمرة أن المراقب يتحرك.
إن إزاحة الزمن e = Dt تعني أن المراقب يرى الشيء بعد تأخير ما.
يمكن جمع متجه الإزاحة Dr والتأخير الزمني Dt في متجه إزاحة زمكاني:
(277)
انظر إلى الصيغ، من زمرة بارغمان، نرى أن:
m' = m
مهما تكن وجهة النظر، فإن الكتلة لا تتغير.
لنُبسّط قليلاً هذه "وجهة النظر"، باختيار a = 1.
يصبح الفعل المرافق:
(278)
...يشير الفعل المرافق إلى التغير في معاملات الحركة. وإذا اعتبرنا أننا ننتقل من وضع ساكن إلى وضع غير ساكن، فإن الشروط الابتدائية تقابل:
E = 0 (طاقة صفرية)
p = 0 (اندفاع صفري، سرعة صفرية)
"العبور" f = 0
حينئذٍ يعطي الفعل المرافق:
(279)
يجب قراءة "أن نعتبر" بمعناها الاشتقاقي.
يقول محضر قضائي:
- إعداد معاينة مع جرد.
...إن رؤية ساكنة (v = 0) للأشياء تقابل زمرة إقليدس. يراقب المحضر الأشياء من مسافة c. وهو يراقب الوقائع في وقت حدوثها (Dt = 0). وربما ينظر من زاوية معينة (a مختلفة عن 1).
...إن جنرالاً، يحلّق فوق ساحة معركة، في طائرة، هو نوع من المحضر، يراقب الأشياء من وجهة نظر متحركة (من طائرة تحلّق بسرعة v).
...لكن جنرالاً، في مقره، ينظر إلى فيلم صوّرته طائرة بلا طيار، طائرة مسيّرة، قبل ساعات، يقول:
- بالنظر إلى الهدف، كما كان قبل ساعة (Dt غير صفري)، منظوراً إليه من نقطة مراقبة متحركة (v غير صفرية)، من ارتفاع خمسة آلاف قدم (c غير صفرية)، تحلّق بسرعة v وتلتقط الصور من زاوية معينة (a مختلفة عن 1).
...ليس للهدف سرعة محددة، ولا موضع، ولا توجّه، حتى لو افتُرض أنه بناء "ثابت". كل شيء نسبي. حتى الأرض والشمس ومجرتنا تتحرك في الفضاء.
...إن "القطب الشمالي" للأرض يختلف عن "القطب الشمالي للشمس" بمقدار 23°، وهو يتغير بمرور الزمن (26,000 سنة)، بسبب بادرة الاعتدالين. والشمال الذي تدل عليه الشمس (محور دورانها الخاص) ليس الشمال الذي تدل عليه مجرتنا، درب التبانة، التي لها حركة دورانها الخاصة (فجوة 90°). حتى المجرة تتحرك، بسرعة ثلاث مئة ميل في الساعة. بالنسبة إلى ماذا؟ إلى الأخريات. هذا كل ما يمكننا قوله.
تقابل الزمرة وجهتي نظر مختلفتين.
...إذا اعتبرت أن الجسم ساكن، ثابت في المكان والزمان، ولا يملك حركة دوران، فكل ما يمكنني قوله هو:
- إذا ابتعدت مسافة c.
- إذا راقبت الشيء، أثناء التحليق بسرعة v.
- إذا وصلتني المعلومات الآتية من هذا الشيء بتأخير زمني Dt.
بالنسبة إليّ:
---> لا تتغير كتلة الجسم.
----> أمنح الجسم اندفاعاً mv، يُعتبر ظاهرياً.
-----> يكتسب الجسم "عبوراً" f = m [ c - v Dt ]
----> يكتسب لفاً مغزلياً
(279b)
اكتبها بصورة أوضح:
(280)
(281)
(282)
أو:
(283)
يمكن للمرء أن يعتبر المكوّنات الثلاثة المستقلة لمصفوفة اللف l مكوّنات متجه:
(283b)
...رغم أن الجداء الاتجاهي لم يُعرَّف في فضائنا، أي: أننا لم نمنح الفضاء توجيهاً يمينياً-يسارياً، يمكننا اعتبار التعبير الأخير جداءً اتجاهياً.
(284)
...تشير v المعكوسة إلى الجداء الاتجاهي. نرى أن السطر الأخير من الصيغ المعطية للفعل المرافق يقابل:
(285)
l مصفوفة، لا متجه. لكن، وفقاً للترميز المختار، تدل الحروف العريضة على مصفوفة أو متجه على حد سواء.
يبدأ هذا المتجه في أن يشبه شيئاً مألوفاً للفيزيائي: الزخم الحركي.
