| 24 |
زمرة غاليليو الخاصة.
...سيجد القارئ هذا التوسيع في كتاب سوريو: بنية الأنظمة الديناميكية، منشورات بيركهاوزر 1997، وبالفرنسية، بنية الأنظمة الديناميكية، منشورات دونو 1973.
...يمكن توسيع زمرة. وهذا يعني أن عدد المعاملات التي تعتمد عليها سيزداد. احسب عدد المعاملات التي تعتمد عليها زمرة غاليليو. نبدأ من مصفوفة الدوران الثلاثية الأبعاد:
(322)
إنها مصفوفة متعامدة:
(323)
تشكل هذه المصفوفات الزمرة SO(3) التي هي زمرة جزئية من الزمرة O(3) المكونة من جميع المصفوفات المتعامدة. لدينا:
(324)
تذكّر الفرق مع:
(325)
(325b)
هي المصفوفات المتعامدة الأكثر عمومية، التي تخضع محدداتها لـ:
(326)
نهاية هذا الاستطراد.
الزمرة التالية من المصفوفات المربعة (5,5) ستسمى زمرة غاليليو الخاصة:
(327)
تعتمد مصفوفة الدوران على ثلاثة معاملات حرة، هي زوايا أويلر. لذا فإن بُعد الزمرة هو عشرة.
باستخدام الترميزات:
(328)
نحصل على:
(329)
مرتبطة بمتجه الزمكان:
(330)
بحيث يكون التأثير المقابل لزمرة غاليليو المكانية:
(331)
...بالنظر إلى زمرة غاليليو الخاصة، من الممكن حساب تأثير الزمرة على فضاء زخمها. لن يُعطى الحساب هنا. يمكن للقارئ أن يجده في محاضراتي عن الزمر، المتاحة.
نعطي النتيجة:
(332)
نتعرف على الزخم p والطاقة E. يتكون الزخم من:
(333)
JSG
= { E , p , f , l }
...عشر كميات قياسية. عشرة أبعاد للزمرة. لا يزال لدينا متجه المرور f ومصفوفة اللف المتخالفة l (المكونة من ثلاث مركبات مستقلة lx , ly , lz ، تشكل "متجه اللف").
التوسيع التافه لزمرة غاليليو الخاصة.
تشكل المصفوفات التالية زمرة جديدة.
(334)
تُدخل مركبة جديدة f، قياسية، هي "الطور" (مرتبطة بالعالم الكمي). يصبح بُعد الزمرة
10 + 1 = 11
تؤثر هذه الزمرة الجديدة على فضاء خماسي الأبعاد:
(335)
z هو "بُعد إضافي". أدخله أولاً البولندي كالوزا، في 1921، ثم ج.م.سوريو، في 1964 (الهندسة والنسبية، منشورات هيرمان، غير مترجم إلى الإنجليزية).
هنا أيضاً، يمكن للمرء حساب التأثير المرافق المقابل للزمرة على فضاء زخمها. نجد هذا:
(336)
يصبح الزخم:
(337)
JTESG
= { m , E , p , f , l }
...لدينا كمية قياسية إضافية m ونطابقها مع الكتلة. نرى أن زمرة غاليليو الخاصة، المؤثرة على الزمكان، تجلب الطاقة، لكن ليس الكتلة، كمركبة من الزخم. في الوقت الحاضر (عبر التوسيع التافه) يكتسب جسيمنا سمة إضافية، تُطابق مع الكتلة، بشكل تعسفي جداً، ولا تتفاعل مع المركبات الأخرى للزخم.
