| 25 |
امتداد غير تافعي لمجموعة غاليلي الخاصة.
مجموعة بارغمان (1960)
المصفوفات التالية
(انظر محاضراتي حول الزمر)
(338)
تشكل زمرة، اكتشفها بارغمان عام 1960. ومرة أخرى، تؤثر هذه الزمرة على فضاء ذي خمسة أبعاد. بُعد هذه الزمرة هو 11، بسبب وجود العدد القياسي f. وهي امتداد غير تافعي لمجموعة غاليلي الخاصة.
(339)
إذا حسبنا الفعل المرافق (coadjoint action) للزمرة على زخمها، نحصل على:
(340)
...نرى أن هذا الفعل المرافق أكثر دقة، وأن الكتلة تتفاعل مع المكونات الأخرى للزخم. لقد حللنا ذلك أعلاه وأظهرنا كيف يؤدي ذلك إلى المعنى الفيزيائي لمكونات الزخم.
...الزخم هو حركة لجسيم معين. تصف مجموعة بارغمان الحركات غير النسبية. يمكننا اعتبار جسيم في حالة سكون، بدون طاقة، بدون اندفاع، وبدون عزم مغزلي. فقط كتلة غير صفرية:
m
p = 0
E = 0
f = 0
l = 0
نستخدم العنصر التالي من مجموعة بارغمان:
(341)
تصبح مكونات الزخم:
(342)
...في نظام إحداثيات مرتبط بالجسيم، يبقى العبور f صفراً. لقد أظهرنا أن مصفوفة العزم المغزلي تتطابق مع الزخم الحركي.
...هنا، ما هو مهم هو النظر إلى الامتداد التافعي لمجموعة غاليلي الخاصة (لماذا "خاصة"؟ سيتم شرح ذلك لاحقاً). عند إجراء هذا الامتداد التافعي، يضيف ببساطة عدداً قياسياً إضافياً إلى الزخم.
لنقم بامتداد مجموعة بوانكاريه:
امتداد مركزي لمجموعة بوانكاريه.
(343)
"ep" تعني "مجموعة بوانكاريه الممتدة". Lo هو عنصر الزمرة الجزئية المتزامنة زمنياً Lo من مجموعة لورنتز الكاملة L. بحيث يمكننا اعتبار العنصر أعلاه كزمرة جزئية متزامنة زمنياً Gepo لمجموعة بوانكاريه الممتدة الكاملة، التي يكون عنصرها:
(344)
تؤثر كلتا الزمرتين على فضاء ذي خمسة أبعاد:
(345)
( t , x , y , z , z ).
يمكن إظهار أن هذا الامتداد لا يمكن أن يحتوي على حدود غير صفرية في السطر الأول، بدلاً من 0 = ( 0 0 0) ، بين 1 و f.
...كما أظهر ج. م. سوريو، فإن طريقة التكميم الهندسي (طريقة كوستانت-كيريلوف-سوريو) تؤدي إلى معادلة شرودنغر من مجموعة بارغمان، ومعادلة كلاين-غوردون من مجموعة بوانكاريه الممتدة (Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972). بالإضافة إلى ذلك، يضيف هذا الامتداد المركزي للزمرة عدداً قياسياً إضافياً إلى الزخم (كما في الامتداد التافعي لمجموعة بارغمان):
(346)
Jep = { c , M , P } = { c , Jp }
يمثل Jp زخم بوانكاريه الكلاسيكي. ثم يصبح الفعل المرافق للزخم ببساطة:
(347)
الحساب ليس معقداً وهو مشابه للحساب المقدم أعلاه. نحسب الفعل المضاد:
(348)
ثم يتم التعبير عن الازدواجية من خلال ثبات العدد القياسي التالي:
(349)
...وبالتالي نحصل على عدد قياسي إضافي c، والذي يُحفظ ببساطة خلال الفعل المرافق. حتى الآن، لم يكن لهذا العدد القياسي أي تفسير فيزيائي. سنوضح كل ذلك فيما يلي. من الواضح أنه يمكننا امتداد الزمرة بقدر ما نريد:
(350)
في كل مرة، يضيف عدداً قياسياً إضافياً
(351)
Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P }
Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
ويصبح الفعل المرافق:
(352)
سيقول القارئ: "حسناً، لماذا لا نضيف 57 عدداً قياسياً جديداً؟"
أضف ستة فقط وحدد هذه الأعداد القياسية الجديدة بـ:
(353)
c 1 = q (الشحنة الكهربائية)
c 2 = cB (الشحنة الباريونية)
c 3 = cL (الشحنة اللبتونية)
c 4 = cm (الشحنة الميونية)
c 5 = ct (الشحنة التاوية)
c 6 = v (المعامل المغزلي المغناطيسي)
تؤثر الزمرة على الفضاء العشاري الأبعاد التالي:
(354)
( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z3 , z 4 , z 5 , z6 )
أي: الزمكان زائد ستة أبعاد إضافية.
(355)
تذكر أن هذه الزمرة مبنية باستخدام الزمرة الجزئية المتزامنة زمنياً
Lo = Ln (المكون المحايد) U Ls (التي تحقق انعكاس الفضاء)
من مجموعة لورنتز الكاملة L.
يصبح الزخم:
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
حيث Jp هي الجزء من الزخم المقابل لمجموعة بوانكاريه Gop (الزمرة الجزئية المتزامنة زمنياً).
ما هو المعنى الفيزيائي؟
...ينتمي الزخم إلى فضاء، وهو متعدد شعب من النوع n. تمتلك مجموعة بوانكاريه عشرة أبعاد، وبالتالي يتكون زخم مجموعة بوانكاريه من عشر كميات.
ثم نضيف ستة أبعاد أخرى إلى الزمرة، تقابل الأطوار الإضافية:
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
يصبح الزخم:
(358)
Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
نقرر أنه ضمن مجموعة الأعداد القياسية
(359)
Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
نحدد الطاقة E، والزخم p، والعبور f، ومصفوفة العزم المغزلي غير المتماثلة l.
...يمكن أن تأخذ E و p جميع القيم الممكنة، لكن الحجج الكمومية تفرض ثبات المعيار s لمتجه العزم المغزلي (في نظام إحداثيات مرتبط بالجسيم)، وهو ما لا يُبرر هنا ويتوافق مع أعمال سوريو.
لدينا ستة أعداد قياسية أخرى:
(360)
J1, J2 J3, J4, J5, J6
...نقرر أنه، ضمن عدد لا نهائي من الخيارات الممكنة، تتوافق بعض الخيارات المنفصلة مع الجسيمات الحقيقية (والجسيمات المضادة). ثم، في متعدد الشعب ذي الأبعاد الستة عشر المقابل لفضاء الزخم، نختار الحركات المنفصلة المقابلة للجسيمات، ذات الأعداد الكمومية المحددة:
(361)
{ q , cB , cL , cm , ct , v }
...في الوقت الحالي، يضمن الفعل المرافق للزمرة حفظ هذه الكميات فقط، على طول حركات معينة. هناك "أعداد كمومية سلبية" تماماً كما ظهرت الكتلة ككمية سلبية، عند نشوئها من الامتداد التافعي لمجموعة غاليلي الخاصة.
