مجموعات وعملية التماثل المترافق للزخم في الفيزياء

مجموعات وعملية التماثل المترافق للزمر والزخم

3 - البُعد الثالث للزمر: يجب أن يمتلك كل عنصر معكوسًا، يُرمز إليه بـ g⁻¹، ويُعرف بالعلاقة التالية:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1

في مثالنا، يُكتب هذا على الشكل:

أي أن b = -a، أو:

g⁻¹(a) = g(-a)

... هنا، أصبح حساب المصفوفة العكسية أمرًا واضحًا. لكن هذا ليس دائمًا هو الحال، بل على العكس تمامًا. ما الذي يضمن أن كل مصفوفة من المجموعة المدروسة تمتلك معكوسًا، أي أن تكون قابلة للعكس؟ يجب ويكفي أن يكون مُحدّدُها غير صفري (ونشير القارئ إلى مادة الجبر الخطي). ويُفيد أحد النظريات أن مُحدّد حاصل ضرب مصفوفتين يساوي حاصل ضرب مُحدّدات هاتين المصفوفتين. وبما أن تعريف المُحدّد يجعل مُحدّد المصفوفة القطرية يساوي حاصل ضرب عناصرها، على سبيل المثال:

النتائج: مُحدّد جميع المصفوفات الوحدوية 1 يساوي 1. وبالتالي:

det(g) مضروبًا في det(g⁻¹) يساوي الوحدة ¹ 0

النتيجة: لا يمكن لمصفوفة ذات مُحدّد صفر أن تمتلك معكوسًا، وهذا يتعارض مع التعريف. بالإضافة إلى ذلك:

4 - البُعد الرابع للزمر: يجب أن تكون عملية التكوين تجميعية:

(g₁ × g₂) × g₃ = g₁ × (g₂ × g₃)

وهذا دائمًا صحيح...

البعد الزمري:

...ملاحظة صغيرة حول البعد للزمرة (المصفوفات)، والذي لا علاقة له بمرتبة المصفوفات المكونة لها أو عدد الكميات المكوّنة لـ"الفضاء الذي تؤثر فيه هذه الزمرة" (مثلاً الفضاء (x,y) ثنائي الأبعاد أو فضاء الزمان (x,y) رباعي الأبعاد).

...لدينا هنا مثال على عائلة من المصفوفات المربعة ذات معلمة واحدة a، والتي تُظهر أنها تشكل زمرة. وسيُعثر لاحقًا على زمر مكوّنة من مصفوفات مربعة معرفة بـ n معلمات: ستة، عشرة، ستة عشر، أو أي عدد.

سيُسمّى عدد المعلمات المستخدمة لتعريف المصفوفات المربعة للزمرة بـ "البعد" للزمرة.

لدينا هنا زمرة مكوّنة من عائلة من المصفوفات ذات معلمة واحدة a. إذًا، بُعد هذه الزمرة هو 1.

لاحظ جانباً:

ملاحظة:

...الزمر، وبشكل خاص الزمر التي نهتم بها هنا، ليست بالضرورة تبادلية. بل العكس هو الصحيح. ويتضح أن زمرتنا المثالية تبادلية:

...يمكنك التعرف على هذه الزمرة على أنها مصفوفات الدوران ثنائية الأبعاد حول محور ثابت. في الواقع العملي، تكون هذه العملية "واضحة التبادلية". فدوران حول محور:

• أولاً بزاوية a، ثم بزاوية b

أو:

• أولاً بزاوية b، ثم بزاوية a

يؤديان إلى نفس النتيجة.

قد تقول لي: "هذا طبيعي. فالزمر الدورانية تُعد أساسًا تبادلية".

...هذا خطأ. هذه خاصية في البعد 2D. في البعد 3D، لا ينطبق هذا. خذ زمرة خاصة مكوّنة من جميع الدورانات حول ثلاثة محاور متعامدة (OX، OY، OZ).

تمرين: ستُظهر، باستخدام جسم ما وتطبيق عليه:

• أولاً دورانًا بزاوية +90° حول OX

• ثم دورانًا بزاوية +90° حول OZ

ثم نفس الدورانين، ولكن بترتيب عكسي، أنك لن تصل إلى نفس النتيجة. إذًا، هذه العملية ليست تبادلية.

عملية الزمرة.

...الزمرة G مكوّنة من مجموعة من المصفوفات المربعة. يمكننا بالفعل اعتبارها تؤثر على نفسها (انظر لاحقًا البُعد الذي يُعرّف عملية الزمرة، وهو مفهوم أساسي).

...يمكن لزمرتنا المثالية أيضًا أن تؤثر على نقاط "فضاء ثنائي الأبعاد". سنقول إنها تُحول هذه النقاط. فما هي الزمر؟ إنها مصممة لنقل، ولكن ماذا بالضبط يجب نقله؟

...بالضبط، هذا ليس المهم. بمقولة من كتابه "نحوية الطبيعة"، نقول مع ج.م. سوريو:

طريقة النقل أهم من المُنقل.

في حالة زمرتنا المثالية، تؤثر المصفوفات على فضاء ثنائي الأبعاد (x,y)، ويمكن كتابة العملية المقابلة:

إذا وضعنا (مصفوفة عمودية):

إذًا، تُكتب العملية ببساطة:

g × r

...في هذه الحالة الخاصة، تتطابق عملية زمرتنا على الفضاء (x,y) مع الضرب المصفوفي. لكننا نريد أن نبيّن أن هذه مجرد حالة خاصة، وأن مفهوم العملية، وهو مفهوم أساسي في الفيزياء، أكثر شمولاً بكثير.