مجموعات وعملية التماثل المترافق للزخم في الفيزياء

مجموعات وعملية التماثل المزدوج للزخم في الفيزياء

مجموعة التحويلات (الترجمات):

...لننظر إلى الفضاء ثنائي الأبعاد (س، ص). في هذا الفضاء، يُمثل التحويل (الترجمة) بالزوج العددي (Δس، Δص)، وعادةً ما نكتب:

س' = س + Δس
ص' = ص + Δص

ونستخدم هنا الجمع. هل يمكننا التفكير في تمثيل الترجمة باستخدام... الضرب؟

لننظر إلى المصفوفات:

وعملية التأثير الجماعي:

نلاحظ أن الأمر لم يعد مجرد ضرب مصفوفي بسيط

ز × ر

بل عملية تأثير جماعي:

ويمكننا في المقابل التفكير في التحويلات في ثلاثة أبعاد أو أربعة، أو أكثر:

عملية التأثير الجماعي المقابلة تكون إذًا:

...بشكل جانبي، مجموعة التحويلات هي مجموعة تبادلية، والعنصر المحايد هو "الترجمة الصفرية". في الفضاء ثلاثي الأبعاد، بعد المجموعة هو ثلاثة، وفي الفضاء الرباعي الأبعاد هو أربعة.

أهمية مجموعات المصفوفات. مثال: مجموعة أقليدس.

...القيمة الحقيقية لمجموعة المصفوفات تكمن في إمكانية التفاوض على عدة أمور في آن واحد، كانت تبدو مختلفة في جوهرها حتى الآن، مثل الدوران والترجمة. يكفي حينها النظر إلى المصفوفات:

وإحداث التأثير الجماعي للمصفوفة الأساسية على المتجه العمودي لنتأكد من أن هذا يعادل توليف دورة بزاوية α وترجمة وفق المتجه (Δس، Δص).

...كما نرى، لا تؤثر المصفوفة ز "بشكل مباشر" على النقاط (س، ص) في هذا الفضاء ثنائي الأبعاد، بل من خلال ما يُسمى "عملية جماعية"، تلتزم ببعض المبادئ الأساسية.

...إذًا، المجموعة "تؤثر" و"تنقل"، في هذه الحالة، النقاط. هذه هي مجموعة أقليدس. مرتبطة بفضاء ثنائي الأبعاد (س، ص)، تُعرف هذه المجموعة بثلاثة معاملات. وهي ز (α، Δس، Δص): إذًا بعد هذه المجموعة هو 3. وبتفصيل معين:

ز (0، Δس، Δص) تمثل المجموعة الجزئية للترجمات.

ز (α، 0، 0) تمثل المجموعة الجزئية للدوران حول الأصل.

ز (0، Δس، 0) تمثل المجموعة الجزئية للترجمات الموازية لخط (محور السينات).

...مجموعة أقليدس تنقل نقاطًا لا تمتلك، في ذاتها، صفات (بينما تمنح مجموعات الديناميكا نقطة مادية بسيطة "صفات" تُسمى كتلة، طاقة، زخم، دوران).

...مع مجموعة أقليدس، يُضطرنا إلى النظر إلى مجموعات من النقاط. وكأنه في الكيمياء، لا يمكن التمييز بين الذرات، والمعطى الوحيد المهم هو هندسة التجميع الجزيئي.

...يمكن لمجموعة أقليدس نقل أشكال هندسية، مثل مثلث (يُنظر إليه كمجموعة من ثلاث نقاط أو ثلاث أضلاع)، أو مربع (يُنظر إليه كمجموعة من أربع نقاط أو أربع أضلاع). وهنا تظهر الفكرة الأساسية لـ النوع. يُقال إن كائنين من نفس النوع إذا وُجد عنصر في المجموعة يمكنه نقل أحدهما ليتطابق مع الآخر.

بالنسبة لمجموعة أقليدس، المربعات ذات الضلع نفسه (أ) تشكل نوعًا واحدًا:

مربعات من نفس النوع.

...إذا كان الضلعان أ و ب مختلفين، فهذان الكائنان ليسا من نفس النوع. لا يوجد عنصر في المجموعة يمكنه تحويل أحدهما إلى الآخر. بالنسبة لمجموعة أقليدس

هذان المربعان لا يشكلان نفس النوع.

أقليدس لا يسمح بالتماثلات (التوسعات). لكي نتعامل مع ذلك، يجب الانتقال إلى مجموعة أخرى، هي مجموعة ديكارت:

مجموعة باربع معاملات ز (λ، α، Δس، Δص)، حيث λ معامل تماثل. إذًا بعد هذه المجموعة هو 4.

من هنا يمكننا أن نتخيل وجود مجموعة أقليدس تؤثر على كائنات في أبعاد ثلاثية.

...ليس المطلوب أن نتعمق في دورة كاملة عن المجموعات، بل فقط أن نشعر ببعض الأفكار. ما هي علم الحيوانات؟ علم يدرس الحيوانات وينظمها. إذا اقتصرنا على الشكل، فإن مجموعة أقليدس تسمح بتصنيف الأرانب البالغة. أما لتصنيف أرانب بأحجام مختلفة ضمن نفس النوع، فسنحتاج إلى استخدام مجموعة ديكارت، لأن لا يوجد عنصر في مجموعة أقليدس (ثلاثية الأبعاد) يمكنه تحويل أرنب صغير إلى أرنب كبير.

...هل تبتسم؟ أنت مخطئ. ربما لديك في منزلك أو شقتك طفلًا صغيرًا يتعلم، يلعب في زاوية. أعطيته لعبة تقليدية ويسعى لوضع أشكال مختلفة داخل صندوق أشكال: أسطوانات، مكعبات، أو أهرامات ذات قاعدة مثلثية.

...ما الذي يفعله الآن؟ يتعود على مجموعة أقليدس في الأبعاد الثلاثة. يصنف الكائنات حسب أنواعها، مما يمكّنه لاحقًا من التعرف عليها، وتطبيق "التعرف على الشكل".

...رغم اختلاف الألوان، يتحقق الطفل من وجود عمليات جماعية (نقل هذه الكائنات في الفضاء ثلاثي الأبعاد) تمكنه من جعل الأسطوانة أ والأسطوانة ب تتداخل تمامًا، باستخدام الفتحة التي تمثل "الشكل المفرغ" للإسطوانة أو الهرم: المدخل إلى القسم الخاص بتصنيف الأشكال في صندوقه. سيتعلم بذلك أن الأسطوانة أ والأسطوانة ب، من حيث المعيار الشكلي (مجموعة أقليدس)، تنتميان لنوع واحد.