مجموعات وعملية التماثل المترافق للزخم في الفيزياء

مجموعات وعملية التماثل المزدوج للزخم

مصفوفة مربعة من الرتبة (n,n) تؤثر على متجه عمودي (n,0). لقد رأينا أن مجموعة أويليد في بعدين، المرتبطة بفضاء (x,y)، لا تُطبّق عمليات على متجهات عمودية:

(51)

بل على متجهات عمودية:

(52)

وهذا يمثل مثالًا على عملية المجموعة على فضاء X مع x ∈ X. هناك عدد لا نهائي من العمليات الممكنة، حتى لو كانت المجموعة تؤثر على نفسها. تُعرّف العمليات من خلال مبادئ (أكسيومات).

(53)

عند النظر إلى المتجه العمودي:

(54)

حيث تمثل x مثلاً المتجهات:

(55)

(56)

وتحقق مبادئ عملية المجموعة. يمكننا إذًا إجراء ضرب من اليسار للمصفوفة المربعة التي تمثل عنصر المجموعة مع مصفوفة صف y، ونتساءل إن كانت هذه أيضًا عملية.

(57) Ag(y) = y × g

الإجابة هي لا. هذه ليست عملية مجموعة: فهي لا تحقق المبادئ المذكورة أعلاه. إذًا ما أحب تسميته "عملية عكسية"، تتبع حينها ما يُسمى "المحور العكسي" التالي:

(58)

وسيقول الرياضياتي إن لا حاجة لاستدعاء هذه "العمليات العكسية"، وأن هناك مجموعة واحدة فقط من المبادئ. صحيح بالفعل. وبالمثل، ما يُعتبر عملية عكسية:

(59) AAg(m) = g⁻¹ × m × g

حيث m متجه معطى، فإن "العملية العكسية للعنصر g من المجموعة G على المصفوفة m"، مع أن g⁻¹ تمثل المصفوفة العكسية، يمكن اعتبارها عملية للعنصر g⁻¹.

وبالمثل، فإن "العملية العكسية" ليست سوى التماثل للعملية. وسأقول إن هذا ظهر لي مفيدًا من حيث التدريس.

من مجموعة مصفوفات مربعة تعتمد على n معلمات π، يمكننا تكوين مصفوفات بتفاضل جميع هذه المعلمات حسب: dpi. المصفوفات الناتجة، التي تحتوي على عناصر dpi، لا تشكل مجموعة، بل ما يُعرف بـ"المتجه المماس للمجموعة: dg (أو ما يُسمى "جبر لي"، الذي لا يُعد في الواقع جبرًا حقيقيًا، لكن نمرّ عليه...).

وبالتالي، يمكن للمجموعة أن تؤثر على "المتجه المماس" dg، بالقرب من العنصر المحايد e للمجموعة، من خلال "العملية العكسية":

(60) AAg(m) = g⁻¹ × dg(g=e) × g

وبهذا نحصل على المخطط:

(61)

لكن العملية العكسية هي التماثل للعملية. وعندما تكون هناك تمايز، فهناك حفظ لجداء داخلي S.

لذلك، سعى سورياو إلى بناء عملية مجموعية ثانية، عملية المجموعة على فضاء الزخم الخاص بها. لكن هذه العملية، المسمّاة العملية المزدوجة أو الأساسية، لم تظهر مباشرة. كان عليه إذًا المرور عبر هذا الوسيط الذي أسميه "العملية العكسية للمجموعة على متجهها المماس".

وبالتالي، تظهر العملية المطلوبة كتماثل للعملية العكسية للمجموعة على متجهها المماس. وتماثل عملية عكسية هو عملية، وستُكتب على الشكل:

(62) Ag(J)

حيث سيكون J هو "الزخم": تجمع لقيم تمثل صفات "نقطة مادية"، والعملية المذكورة، المسمّاة المزدوجة، توضح كيف تتغير هذه الصفات أثناء الحركة.

هناك مجموعة، سنتناولها لاحقًا، وهي تمدد لمجموعة غاليلو، والتي سنتناولها أيضًا لاحقًا، وتُسمى مجموعة بارغمان (1960). وبتطبيق هذه الطريقة على هذه المجموعة، يمكن بناء زخمها JB وطريقة تأثير المجموعة عليها.

يُحب سورياو أن يقول:
يُتابع الزخم الحركة كظلها.

صورة جميلة مستوحاة من كتابه "نحوية الطبيعة". فبالفعل، تتحرك النقطة المادية في الفضاء-الزمن (x,y,z,t). وبحسب ذلك، تتغير صفاتها، وهو ما يُصف من خلال هذه العملية المزدوجة للمجموعة على فضاء زخمها.