مجموعات وعملية التفاعل المترافق للزخم في الفيزياء

مجموعات وعملية التأثير المترافقة للزخم

نحن لا نكتب مكونات زخم مجموعة بارغمان. نكتب بشكل توضيحي زخم مجموعة بارغمان كما يلي:

JB = { عدد مفرد m، بالإضافة إلى مكونات أخرى من الزخم }

عملية التأثير المترافقة توضح كيف تتغير مكونات الزخم المختلفة. ولكن هذه العملية المترافقة تبدأ بعلاقة بسيطة:

(63) m' = m

تبدأ عملية التأثير المترافقة لمجموعة بارغمان على زخمها بحفظ الكتلة، والتي تظهر بذلك بـ وضع هندسي بحت.

بناء عملية التأثير المترافقة لمجموعة بوانكاريه على مساحة زخمها Jp**.**

إذا كنت قد فقدت الاتجاه بالفعل، لا تقلق. هذا طبيعي، وسيصبح الأمر أكثر صعوبة مع مرور الصفحات. لا أعرف بالضبط من يندرج تحته هذا النص في هذه المرحلة. من المحتمل أن يكون موجهاً لعلماء الفيزياء النظرية أو الرياضيين، ولكن من غير المرجح أن يكون موجهاً لعمال السباكة واللحام. ولكن الطالب في المدرسة العليا أو في درجة البكالوريوس في الفيزياء، الذي يصر على الاستمرار، يمكنه متابعة هذا الموضوع. إنها مجرد مصفوفات.

يبدأ كل شيء بمجموعة مصفوفات من الشكل (4،4) التي تشكل مجموعة لورنتز، وعناصرها هي L.

يتم تعريف هذه المصفوفات بشكل أксиومي من خلال مصفوفة G:

(64)

وفقًا لـ:

(65) tL G L = G

مع مشاركة معكوس المصفوفة L.

المصفوفات L تشكل مجموعة.

إثبات.

العنصر المحايد هو L = 1:

لنفترض أن L1 و L2 عنصرين من المجموعة. دعنا نتحقق من أن المنتج L1L2 ينتمي إلى المجموعة. إذا كان كذلك:

t( L1L2 ) G L1L2 = G

لكن:

t( A B ) = t B t A

إذًا:

t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2

ثم نحسب معكوس المصفوفة L. نبدأ من التعريف الأكسيومي للعناصر L:

tL G L = G

نضرب من اليمين بـ L-1:

tL G L L-1 = G L-1

tL G = G L-1

نضرب من اليسار بـ G:

G tL G = G G L-1

G tL G = L-1

إذًا معكوس المصفوفة L هو:

L-1 = G tL G

أي:

(66)

المتجه الزمكاني. المصفوفة G تأتي من مترية مينكوفسكي، والتي يمكن كتابتها (مع c = 1):

(67)

تمرين: إثبات أن معكوس المصفوفة يخضع لـ:

(68)

ثم نقدم متجهًا للنقل الزمكاني:

(69)

منه نصنع عنصر gp من مجموعة بوانكاريه:

(70)

تمرين: إثبات أن هذا يشكل مجموعة وحساب معكوس المصفوفة:

(71)

فيما يلي "المتجه المماسي للمجموعة، عنصر "جبر لاي" الخاص بها":

(72)

من هذا نحسب التأثير العكسي:

(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp

بسبب سهولة الحساب، نلاحظ أن:

(74) G d L

هي مصفوفة غير متماثلة. دعها تكون:

(75)

إذًا:

(76)

نضع:

(77)

من هذا المعدات نشكل التأثير العكسي:

(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp

بعد إجراء جميع الحسابات، نحصل على التطبيق:

(79)

إذا أردت تجاهل هذه الجزء من الحسابات المصفوفية، راجع المعادلة (80)، في أسفل الصفحة

(79a)

(79b)

منه نحصل على عناصر التأثير العكسي:

(79c)

لكن:

(79d)

إذًا:

(79e)

لكن GG = 1 إذًا:

(79f)

منه نستنتج التطبيق:

(79g)

وهو التأثير العكسي المطلوب، التطبيق:

(80)