مجموعات وعملية التفاعل المترافق في الفيزياء الزخم
| 10 |
|---|
كل ما يمكنني قوله هو:
- أنني ابتعدت عن "الهدف" مسافة c.
- وراقبته أثناء تحركي بسرعة v.
- وكوني، بالنسبة لهذا الهدف، متأخراً بفترة زمنية Dt.
بما أنني:
--- لم أُغيّر كتلته m.
--- زوّدته بزخم متحرك m v (كمية الحركة).
--- زوّدته بكمية عبور m [ c - v Dt ].
--- وزوّدته بدوران:
لنوضح هذا الدوران:
(118a)
(118b)
(118c)
أو:
(118d)
يمكن اعتبار المكونات الثلاث المستقلة للمصفوفة الدوّارة l كمكوّنات لمتجه. يُكتب هذا المتجه حينها كالتالي:
(119)
رغم أننا لم نُعرّف الضرب الاتجاهي في فضاءنا، أي أننا لم نُعطِه اتجاهًا يمينًا-يسارًا، يمكن اعتبار هذا التعبير كضرب اتجاهي:
(120)
حيث يشير الحرف v المقلوب إلى الضرب الاتجاهي. نلاحظ أن السطر الأخير من الصيغ التي تعطي التفاعل المترافق على الزخم يتوافق مع:
(121)
l هي مصفوفة وليس متجهًا (لكن في ترميزنا، الحروف الغليظة تمثل بغض النظر بين المصفوفات والمتجهات، بينما الحروف الرفيعة تمثل القيم القياسية).
هذا المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي يبدأ في التشبه، بالنسبة للفيزيائي، بشيء مألوف: الزخم الزاوي.
نأخذ جسيمًا، ونبتعد عنه بمقدار c، ونراقبه أثناء حركتنا بسرعة v. كل شيء يبدو كما لو كان العكس: أن الجسيم بعيد عن مراقب ثابت، وينتقل بسرعة v.
(122)
يبقى "كمية العبور" f = m [ c - v Dt ]
وهي تختفي ببساطة عندما نجعل c = v Dt، أي نربط السرعة v بالانزياح الزماني-المكاني:
(123)
لنعد إلى تعبير الزخم الناتج عن مجموعة بوانكاريه، معبّرًا فيه في نظام إحداثيات حيث يصبح العبور معدومًا:
(124)
الجسيم هو اختيار خاص تم في الزخم. ومع ذلك، تسمح تغييرات الإحداثيات بجعل كمية العبور f معدومة، ونعيد مكونات الدوران l والزخم P إلى مكون واحد فقط (الحركة في الاتجاه z):
(125)
إذًا، الكائن الموصوف بواسطة مجموعة بوانكاريه يمتلك، من الناحية الأولية:
- طاقة E
- زخم P
- دوران ذاتي l
الدوران هو كتلة مضروبة في طول، ثم مضروبة في سرعة. وبالتالي فإن وحدته هي M L² T⁻¹، أي نفس وحدة ثابت بلانك h.
تُظهر طريقة الكمّية الهندسية، التي طوّرها سورياو (انظر: "هيكل الأنظمة الديناميكية"، دونود، 1973)، أن هذا الدوران يجب أن يكون متناسبًا مع:
(125b)
بقيم نصف صحيحة. أي إما الوحدة (الفوتون)، أو 1/2 للجسيمات الأخرى مثل الإلكترون، البروتون، النيوترون، النيوترينو، ومضاداتها.