مجموعات وعملية التماثل المترافق للزخم في الفيزياء

مجموعات وعملية التماثل المزدوجة في الفيزياء، الزخم

جسيمات ذات دوار غير صفري وكتلة غير صفرية.

لم يعد هناك ارتباط مباشر بين الطاقة والزخم، كما هو الحال بالنسبة للضوء والنيوترينو، الجسيمات ذات الكتلة الصفرية.

(131)

حيث m هي الكتلة السكونية، والتي تتطابق مع الكتلة الناتجة من مجموعة بارغمان، لدينا:

(132a)

(132b)

نقتصر على:

بروتون
إلكترون
نيوترون
ومضاداتها.

تتمتع الجسيمات بخصائص مختلفة، مثل الشحنات والصفات، التي لا تنشأ أيضًا من مجموعة بوانكاريه:

• الشحنة الكهربائية e = ± 1
• الشحنة الباريونية cB = ± 1
• الشحنة اللبتونية cL = ± 1
• الشحنة الميونية cm = ± 1
• الشحنة التاونية ct = ± 1
• معامل الجيروماغناطيسي v

عكس جميع هذه الكميات يمثل تناظر C. وبالتالي يمكننا تجميع كل هذا في الجدول التالي:

(133)

ويمكن أن يأخذ هذا الاتجاه أي اتجاه، تمامًا كما يمكن أن يأخذ الدوران أي اتجاه.

يُعادل العزم المغناطيسي معامل الجيروماغناطيسي v مضروبًا في الدوران s.

(134)

في هذه الحالة استخدمنا حرفًا غامقًا s للدلالة على الدوران. وهذا يعني أن اتجاه دوران الجسيمات يمكن أن يكون أي اتجاه. لكن قيمته المطلقة هي إحدى خصائصها، وهي ثابتة جوهريًا (الكمّية الهندسية للدوران الداخلي للجسيمات).

تناظر C، أو تبديل الشحنات، الذي يعكس معامل الجيروماغناطيسي v، يعكس أيضًا العزم المغناطيسي.

الحديد المغناطيسي الدائم.

إذا وُضع قطعة من الحديد الناعم في مجال مغناطيسي قوي، ثم تم تقليل هذا المجال، فإن المعدن سيحتفظ بامتصاص مغناطيسي دائم. ما الذي حدث؟

يُوجه المجال المغناطيسي دوارات الإلكترونات، التي تُعامل كمغناطيسات صغيرة، أي ثنائيات مغناطيسية صغيرة.

لكن لماذا يحتفظون بالاتجاه الذي تم إعطاؤهم إياه؟ بسبب التماثل. يُوجه كل إلكترون نفسه وفق المجال المغناطيسي الناتج عن جيرانه. وبما أن الآخرين يفعلون الشيء نفسه، يحتفظ كل هذه العزوم باتجاهها المتوازي. إنها "مُحاكاة فضائية". ما لم نسخن قطعة المعدن أو نضربها، في تلك الحالة سنُخلّ بالتنظيم الإلكتروني الرائع.

عزم المغناطيسية للمادة المضادة.

يؤدي تبديل الشحنة، المرتبط بتحويل المادة إلى مادة مضادة بمعنى ديراك (سنوضح لاحقًا ماذا يعني ذلك)، إلى عكس العزم المغناطيسي، بسبب عكس معامل الجيروماغناطيسي، بينما يبقى الدوران دون تغيير.

بالطبع، لا يغير هذا التناظر C من الطاقة أو الزخم للجسيم.

المكونات الأربع لمجموعة لورنتز.

كما رأينا، العنصر L من مجموعة لورنتز L معرف بشكل أксиومي. يجب أن يخضع للشروط:

(135)

(136)

أي مصفوفة L تحقق هذه التعريف تُعد جزءًا من المجموعة L. وهي مصفوفة بحجم (4,4)، ويمكن أن تؤثر مثلاً على:

(137)

أي على الفضاء-الزمن. وبالتالي يصبح من الطبيعي أن نتساءل إن كانت هذه المصفوفات قادرة على تنفيذ تناظرات في هذا الفضاء. هل يمكننا مثلاً تبديل x بـ -x؟ وهل يمكن تصنيف المصفوفات إلى مجموعات فرعية مختلفة، تلك التي تُنفّذ هذا التحويل، والبعض الآخر الذي لا يُنفّذ؟

منذ زمن بعيد (بمعنى "منذ وقت طويل جدًا" بالإنجليزية)، استكشفنا كل هذا، وأثبتنا أن مجموعة لورنتز تتكون فعليًا من أربع أنواع من المصفوفات.

Ln — تلك التي لا تُعكس ولا الفضاء ولا الزمن.
Ls — تلك التي تُعكس الفضاء.
Lt — تلك التي تُعكس الزمن.
Lst — تلك التي تُعكس كلاهما.

نُسمّي هذه المجموعات مكوّنات لمجموعة. وبالتالي، مجموعة لورنتز هي مجموعة مكوّنة من أربع مكونات.

يمكننا فورًا إنتاج أربع مصفوفات، كل منها تنتمي إلى المجموعة الفرعية المذكورة:

(138)

An = 1 (العنصر المحايد)، تنتمي إلى Ln: لا تُعكس الفضاء ولا الزمن.
As تنتمي إلى Ls: تُعكس الفضاء.
At تنتمي إلى Lt: تُعكس الزمن.
Ast تنتمي إلى Lst: تُعكس الفضاء والزمن معًا.

لتكوين مجموعة (في هذه الحالة زمرة فرعية من مجموعة لورنتز)، يجب أن تحتوي المجموعة على العنصر المحايد 1 بالشكل (n,n) المعتبر، هنا (4,4). فقط مصفوفات المجموعة Ln تحقق هذا الشرط. وتشكل زمرة فرعية لمجموعة لورنتز. وبما أن هذه المجموعة تحتوي على العنصر المحايد للمجموعة، تُسمى أيضًا المكون المحايد للمجموعة. أما المجموعات الأخرى من المصفوفات فلا تشكل زمرًا فرعية (من المستحيل: فهي لا تحتوي على العنصر المحايد).

ملاحظة:

(139) At = - As Ast = - An

يمكننا إذًا النظر في المجموعة Lo = Ln » Ls، وهي زمرة فرعية من مجموعة لورنتز تُسمى أوثروكرونية [1]. أما المصفوفات Lac = Lt » Lst فلا تشكل زمرة، لكنها تشكّل المجموعة المرتبطة بعكس الزمن، وتُسمى أنتيكرونية [12]. والمجموعة الكاملة لـ لورنتز هي:

(140) L = Lo » Lac

لكن يمكننا أيضًا ملاحظة أن العنصر:

(141) m Lo، حيث m = ± 1

يغطي المجموعة الكاملة.