مجموعات وعملية التماثل المترافق للزخم في الفيزياء

مجموعات وعملية التماثل المترافق في الفيزياء الزماني-الزماني

المكونات الأربعة لمجموعة بوانكاريه.

من مجموعة لورنتز نُنشئ مجموعة بوانكاريه، التي تم التطرق إليها سابقًا:

(142)

C هو المتجه "الانزلاق الزماني-الزماني".

(143)

ستمتلك مجموعة بوانكاريه أيضًا أربع مكونات، كل منها مرتبط بمكون مماثل في مجموعة لورنتز.

أعلاه، تأثير المجموعة على فضاء حركاتها. ولكن ما يُثير الاهتمام هو تأثير المكونات الأربعة على الزخم. انظر: سوريو، بنية الأنظمة الديناميكية، دونود 1973 (وبيركهاوزر 1997، باللغة الإنجليزية)، الفصل الثالث، الصفحة 197، القسم المعنون: انعكاسات الفضاء والزمن.

نذكّر بالمركبات المرتبطة بمجموعة بوانكاريه:

E: الطاقة
p: الزخم
f: التمرير
l: الدوران

للاحتفاظ بالرموز المستخدمة في سوريو، نسمي:

• Ln المكون المحايد لمجموعة لورنتز.
• Ls المكون الذي يعكس الفضاء.
• Lt المكون الذي يعكس الزمن.
• Lst المكون الذي يعكس كلاً من الفضاء والزمن.

بما أن C هو انزلاق زماني-زماني، فإن المكونات الأربعة لمجموعة بوانكاريه هي:

gp ( Ln , C) المكون المحايد
gp ( Ls , C) الذي يعكس الفضاء
gp ( Lt , C) الذي يعكس الزمن
gp ( Lst , C) الذي يعكس الفضاء والزمن معًا.

نبحث الآن في تأثيرات هذه المكونات على مكونات الزخم. يجب أن نأخذ بعين الاعتبار الصيغ التي تعطي تأثير المجموعة على فضاء الزخم:

(144)

P هو المتجه الرباعي:

(145)

يمكننا كتابة المصفوفات التي نريد تحليلها:

(146)

حيث l = ±1 و m = ±1.
Ln = L( l = 1 ; m = 1)
Ls = L( l = -1 ; m = 1)
Lt = L( l = 1 ; m = -1)
Lst = L( l = -1 ; m = -1)

(147)

(148)

ننتقل الآن إلى تحليل التأثير على الدوران والتمرير.

(149)

لكن في ما يهمنا، C = 0

(150)

إذًا l' = l و f' = l m f

نستنتج من ذلك:

(151)
gp ( Ln , C): I E → E ; p → p ; f → f ; l → l
gp ( Ls , C): I E → E ; p → -p ; f → -f ; l → l
gp ( Lt , C): I E → -E ; p → p ; f → -f ; l → l
gp ( Lst , C): I E → -E ; p → -p ; f → f ; l → l

لا تتغير أبدًا مكونة الدوران l عند الانعكاسات.

أما الانعكاس الزمني والانعكاس في الطاقة، E → -E، فهما مترادفان.

يُعتبر الدوران مترادفًا مع التدوير (spin) عند كمّيته. ولا يتأثر بأي انعكاس.

التدوير (باعتباره مقدار متجه الدوران للجسيم) هو مجرد عدد.

طاقة الجسيم الساكن هي mc².

الانعكاس الزمني مترادف مع انعكاس الكتلة m.

الانعكاس المكاني لا يعكس الكتلة.

يُسمى المكونان الأولان من المجموعة من قبل سوريو الزمنية الموجبة، والمركبان الأخيران الزمنية السالبة.

يلاحظ سوريو أن كل هذا يثير مشكلة الكتلة السالبة، التي لا يحبها الفيزيائيون كثيرًا. فما هو مصير نتيجة اصطدام جسيمين لهما طاقتان +mc² و -mc²؟

يحدث اندثار كامل. وليس هذا مجرد اندثار المادة والمضادة-مادة، الذي ينتج فيه فوتونات. بل سيكون هناك ظاهرة تُنتج "لا شيء" في شكل نقي.

لتجنب هذا المعضلة، يقترح سوريو حلين. الأول هو أن نقرر بشكل مباشر أن الجسيمات ذات الكتلة السالبة لا توجد. والثاني هو استبعاد التحولات الزمنية السالبة.

بصيغة أخرى، يمكننا القول:

• الله، في حكمته اللامتناهية...

نواصل بناء العناصر التي ستكون نقطة انطلاق لعملنا الخاص.