مجموعات وعملية التماثل المترافق لزخم الفيزياء

مجموعات وعملية التماثل المترافق للزخم في الفيزياء

التمديد المركزي لمجموعة بوانكاريه.

يُذكر هذا النوع من التمديد في كتاب ج. م. سوريو، "هيكل الأنظمة الديناميكية". تمكنه طريقة التكميم الهندسي من استخلاص معادلات الميكانيكا الكمية من المجموعة. على سبيل المثال، تؤدي مجموعة بارغمان، التي تصف الجسيم غير النسبي، إلى معادلة شرودنغر، التي هي أيضًا غير نسبية.

النقطة الابتدائية هي مجموعة غاليلو. إنها مصفوفة من الشكل (5,5) تُبنى بهذه الطريقة:

(152)

تعتمد مصفوفة الدوران على ثلاث متغيرات، وهي زوايا أويلر. وبالتالي، بعد المجموعة هو عشرة.

باستخدام الترميزات:

(153)

(154)

المتعلقة بالزمن والمكان:

(155)

رغم أن الأمر قد يبدو غريبًا، فإن بناء عملية التماثل المترافق للمجموعة على فضاء الزخم لا يُظهر الكتلة ( m ) ككائن هندسي. لا يمكن تحقيق ذلك إلا من خلال تمديد غير تافه لهذه المجموعة، وهو ما يسمى بـ "مجموعة بارغمان" (1960).

(156)

وجود القيمة القياسية ( f ) يُضفي على هذه المجموعة بعدًا إضافيًا: أحد عشر بعدًا.

تؤثر هذه المجموعة على فضاء خمسة أبعاد، وهو فضاء الزمكان، بالإضافة إلى بعد إضافي ( z )، من خلال التأثير:

(157)

كما تم إعطاء سابقًا عملية التماثل المترافق لمجموعة بارغمان على زخمها. نلاحظ أن إضافة القيمة القياسية ( f )، من خلال إضافة بعد إلى المجموعة، تُضيف مكونًا إضافيًا إلى الزخم، والذي يُعادل الكتلة ( m ) (وهي في هذه الحالة محفوظة: ( m' = m )).

باستخدام مجموعة بارغمان وطريقة التكميم الهندسي الخاصة بها، يمكن لسوريو حينها بناء معادلة شرودنغر غير النسبية.

أما المعادلة الكمية النسبية فهي معادلة كلاين-غوردون. كان من المنطقي حينها البحث عن المجموعة التي يمكن أن تنبع منها هذه المعادلة. إنها التمديد المركزي:

(158)

"pe" تعني "بونكاريه الموسّعة". لقد بنينا هنا مجموعة بونكاريه من المجموعة الجزئية الأوتوكرونية للمجموعة اللورنتزية ( L_0 ).

الفضاء المرتبط بهذه المجموعة هو أيضًا فضاء خماسي الأبعاد:

(159) ( (t, x, y, z, z) )

هذا التمديد أبسط من تمديد بارغمان، ولكن في الواقع الأمور تكون دائمًا أسهل في النسبية. يُثبت بشكل عابر أن ما بين 1 و ( f ) في الصف الأول لا يمكن أن يكون سوى المصفوفة السطرية ( \mathbf{0} = (0\ 0\ 0) ): أي أصفار فقط.

تؤدي طريقة التكميم الهندسي إلى معادلة كلاين-غوردون. وبالنسبة للعملية التي تؤثر بها المجموعة على فضاء الزخم، نحصل على ما يلي:

(160)

Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }

الحساب ليس معقدًا. بل يُشبه تمامًا حساب عملية التماثل المترافق لمجموعة بونكاريه على زخمها.

نحسب التأثير المعاكس:

(160 b)

ثم نعبّر عن ثبات المنتج القياسي (التوافق الثنائي):

(160 c)

إذا نجحت في التغلب على هذا الحساب، فهذا سيكون مؤشرًا جيدًا. سيُشير إلى أنك بدأت تدخل في هذا الفوضى.

يظهر إذًا كمية قياسية ( c )، ووظيفتها الوحيدة هي الاحتفاظ بها. ماذا تعني؟ لا يوجد تفسير. إنها ببساطة "شيء ما يُحفظ". يمكننا تعيينها، على سبيل المثال، صفة الشحنة الكهربائية.

الفكرة الأولى التي تتبادر إلى الذهن هي إجراء هذا النوع من التمديد عدة مرات:

(161)

سيُثبت لاحقًا أن هذه العملية يمكن تكرارها بلا حدود، وستُضيف كل مرة كمية قياسية إضافية:

(162) Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., M, P }
Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., Jp }

مع التأثير المترافق التالي:

(163)

نعتبر حينها أن بعض القيم المنفصلة لمكونات الزخم تمثل شحنات الجسيم.

حسناً، سيقول القارئ، بالفعل يمكننا إضافة ستة صفوف إضافية. فنحصل حينها على ثبات كميات قياسية يمكن تحديدها على أنها:

(164)

c₁ = e (الشحنة الكهربائية)
c₂ = cB (الشحنة الباريونية)
c₃ = cL (الشحنة اللبتونية)
c₄ = cm (الشحنة الميوونية)
c₅ = ct (الشحنة التاوونية)
c₆ = v (معامل الجيروماغناطيسي)

كفى أن نأخذ المجموعة، مع التأثير المقابل، المرتبطة بفضاء من عشرة أبعاد:

(165) ( (x, y, z, t, z_1, z_2, z_3, z_4, z_5, z_6) )

(166)

مرة أخرى، نبني المجموعة حول المجموعة الجزئية الأوتوكرونية ( L_0 ) من مجموعة لورنتز:

( L_0 = L_n ) (المكون المحايد) ≈ ( L_n ) (عكس الفضاء).

هذه المجموعة ذات مكونين تُظهر ببساطة ست كميات قياسية ترافق الجسيم دون التفاعل مع أي شيء. يصبح الزخم على الشكل:

(167) Jpe = { q, cB, cL, cm, ct, v, Jp }

حيث Jp هي "المكون بونكاريه". ولكن هذا يظل ذا فائدة محدودة.