مجموعات وعملية التماثل المترافق للزخم في الفيزياء

مجموعات وعملية التماثل المزدوج في الفيزياء الزمكانيّة

لقد رأينا أنه يمكن إلغاء المرور **f **، وفق الفكرة الأولى: بفرض أن الجسيم المادي يبتعد (أو يقترب، على أي حال يتحرك بسرعة v، وأن هذا ينتج، خلال فترة زمنية e = Dt، تحركًا c = v Dt).

من منظور عكسي، سيكون المراقب هو من يتحرك بسرعة v، ويغطي المسار c = v Dt خلال الفترة الزمنية Dt.

لذلك، دعنا نتجاهل المرور، الذي يمكن دائمًا إلغاؤه بالمتابعة مع الجسيم أثناء حركته، من خلال ربط السرعة v بالمسار المقطوع c.

من الناحية الرياضية، إنها ببساطة زمرة فرعية، هي زمرة النقل حيث أظهرنا ضعفًا في ربط السرعة والزمن والمسار المقطوع، حيث لا تكون مقاييس السرعة (الساعة، المقياس، والعداد) مستقلة تمامًا.

مقبول من الناحية الفيزيائية.

ما تبقى هو تلك الحركات السرية الغريبة، هذه الإضافة لكمية f إلى بعد إضافي z. "الطبقة الكمية السفلية"، أحد جوانب المصباح البصري البلاطوني، الذي نُفترض أنه لا يمكننا الوصول إليه.

حسنًا...

الآن، لنعد إلى الزمرة التي تدير حركة النقطة النسبية، وهي زمرة بوانكاريه.

(182)

النسخة "الموحّدة" القياسية. لحظتها هو:

(183) Jp = { M , P ) = { M , p , E }

(184)

الحساب: عشرة. لكنني كان يمكنني أن أكتب ببساطة:

(185)

Jp = { J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }

لقد بنيت عملية التماثل المزدوج. أشعر الآن كيف يُنقل "الجسيم المادي" الجديد، بشكل نسبي هذه المرة. أعلم أن في مكونات هذا اللحظة يوجد كمية قياسية تُسمى الطاقة E. لكن الكتلة تبخرت. أو بالأحرى، تم امتصاصها من قبل الطاقة.

أصبحت الكتلة والطاقة "كيانًا واحدًا" يُسمى الطاقة-المادة. كان من الطبيعي إذًا أن يكون هناك حاجة إلى كمية قياسية واحدة فقط لوصف هذا الحالة.

مرة أخرى، أطرح السؤال: هل هناك نوع من "الحالة الأساسية" (وهي بالطبع نسبية، نسبية إلى مراقب يعتقد أنه أيضًا في نفس "الحالة الأساسية" هذه).

لدي التعبير عن عمليتي التماثل المزدوج:

(186)

بالنسبة للسطر الأول، مع التفصيل:

(187)

إذا كانت الجسيم له كتلة غير صفرية، يمكنني تخيل أن في هذه الحالة الأساسية النسبية، كانت زخمها الابتدائي قد يكون صفرًا. سيكون هذا "جسيمًا في حالة سكون"، وبالتالي يمتلك طاقة سكون Eo** **:

لذلك يمكنني تزويد هذا الجسيم بزخم من خلال تطبيق عنصر من زمرة لورنتز عليه، وفقًا للعلاقة:

(188)

.

عملية لا يمكن تصورها بالنسبة لجسيم "ذو كتلة صفرية"، مثل الفوتون أو النيترينو، الذين يتحركون بسرعة c، وبالتالي "يتحركون دائمًا". إنها جسيمات لا تعرف السكون أبدًا. فهي دائمًا زخم p، والذي يرتبط في الواقع بطاقة E.

الفيزيائي غير النسبي، ببطء، سيجد غريبًا أن جسيمًا له كتلة صفرية يمكنه أن يمتلك زخمًا.

لكنها كائن رياضي، سيقول الفيزيائي النسبي، وسيدوّن:

(189)

وسيتجاهل الأمر تمامًا.

ما تبقى هو العلاقة الثانية:

(190)

المحاولة لفك رموزها، إن أمكن.

C هي التحويل الزمكاني (Dx , Dy , Dz , Dt)

(191)

نواصل التفصيل.

(192)

(193)

(194) (195)

هناك! إنها مقلوب العلاقة السابقة.

الرياضي سيقول: من الواضح، وفقًا للمبرهنة التالية (التي ستجدها بنفسك كتمرين):

إذا كانت لدينا مصفوفتان يمكن ضربهما، فنحصل على:

(196)

مقلوب حاصل ضرب مصفوفتين يساوي حاصل ضرب مقلوب المصفوفة الثانية في مقلوب المصفوفة الأولى (نعكس الترتيب).