مجموعات وعملية التماثل المترافق للزخم في الفيزياء

مجموعات وعملية التماثل المزدوج للزخم في الفيزياء

لتوسيع المشكلة قليلاً، يمكنني اعتبار أن هذه المسارات هي... بأي شكل من الأشكال:

(205)

لكل جسيم كتلة m، يتحرك بسرعة مختلفة، نقطة تمثيلية في فضاء الزخم. لكن هذه الجسيمات تشترك في شيء ما. جميعها تمتلك نفس الكتلة m (ونفس التدوير، إلخ...).

إذًا، هناك عملية لعملية المجموعة تسمح بالانتقال من حركة M1 إلى حركة M2. إنها عملية مزدوجة التماثل، "تُدار" بواسطة المجموعة. (206)

في الرسمين السابقين، أشرت إلى كائن مُبسَّط بكرة أكبر، يتحرك بحركة معينة. حجم الكرة يوحي بأنها حركة جسيم لا يملك نفس الكتلة. ولكن هذا أيضًا حركة.

هذا الكائن الرياضي، المسمى "حركة"، ينتمي إلى فضاء الحركات. وبالتالي، له صورة في فضاء الزخم J.

لكن هذا الجسيم كتلة m > m ليس من نفس النوع كغيره. لا توجد عملية لمجموعة تسمح بتوحيد جسيم كتلة m وجسيم كتلة m

(نحن هنا في المجموعة الديناميكية لبارغمان)، لأن العملية المزدوجة التماثل تعطي: m' = m، أي حفظ الكتلة.

في الفضاء (x,y,z,t)، توجد الجسيمات النقطية في أي مكان ضمن الفضاء-الزمن. في نقطة (x,y,z) يمكن أن يوجد في الزمن t جسيم عشوائي، كتلة عشوائية، شحنة عشوائية. وبالتالي، لا يمكن استخدام هذا الفضاء لتصنيف الجسيمات حسب الأنواع، أو ترتيبها في صناديق من نوع ما.

قد يفكر الفيزيائي في تصنيف "جسيمات ساكنة"، تتوافق مع طيف طاقة Eo, E1, E1، إلخ...

إذا قمنا بتصنيفها "ديناميكياً"، فلن نصنف الطاقات، بل الحركات.

الكائن الذي نحلله هو مجموعة الحركات لجميع الجسيمات التي تُدار بواسطة المجموعة. نستخدم حينها العملية المزدوجة التماثل كأداة تحليل، كمصفاة.

لنغير الرسم:

إذا أعطينا عنصراً g من مجموعة G، فسوف يُولِّد عملية مزدوجة تماثل تُحدِّد تغيّر الزخم. بشكل تبسيطي:

(207)

المجموعة تسمح بتغيير الحركة. ننتقل من نقطة تمثيلية J1 إلى نقطة تمثيلية J2 في هذا الفضاء للحركات. في "الفضاء الفيزيائي"، نغيّر الحركة. أنت تتغير، وتغيّر حركتك. كل الصعوبة اللغوية تكمن في أن الرياضيين والفيزيائيين لا يعرّفون كلمة "حركة" بنفس الطريقة. بالنسبة للفيزيائي، الحركة شيء نراقبه "يتم تمديده". أما بالنسبة للرياضي:

• إما "هو مُتمَدّد بالكامل"

• أو هو نقطة في فضاء الزخم.