مجموعة بوانكاريه ونوعيات الجسيمات

فلنفكر ببرودة. لقد رأينا أن جسيمات مختلفة (فوتونات، جسيمات، مضادات جسيمات) تشكل أنواعًا مختلفة، تتوافق مع تقسيم فضاء الزخم إلى مجموعات فرعية تتوافق مع هذه الأنواع نفسها.

النوع هو مجموعة فرعية من الحركات الخاصة، مجموعة فرعية من الزخمات الخاصة.

أخبرني بكيفية نقلك، أخبرك بما أنت عليه.

يحتوي المجموعة الكاملة لبوانكاريه على أربع مكونات غير متصلة ومتباينة. داخل المجموعة الفرعية الأورثوكرونية توجد مكونتان: المكونة المحايدة (التي تحتوي على العنصر المحايد 1) ومكونة أخرى مرتبطة بعكس الفضاء. لا تؤثر هذه المكونة على طاقة الجسيم أو كتلته. بل تمثل ببساطة نوعًا آخر من الحركة، وهو جزء لا يتجزأ من فضاء الزخم المرتبط بحركات الجسيمات ذات الطاقات الموجبة. يمكن أن تتم جميع الحركات في نفس فضاء الزمكان. أما بالنسبة للمادة المضادة، فإن "الخيط" يكون ببساطة عكسيًا.

(219)

المجموعة الأولى لبيت.

من الممكن حينئذٍ إنشاء عمل مترافق يحوّل المادة إلى مادة مضادة والعكس، عن طريق تعديل المجموعة الممتدة لبوانكاريه كما يلي:

نبدأ من المكونة الأورثوكرونية ( G_0 ) لمجموعة لورنتز. نُزيل من مجموعة بوانكاريه جزئها المعاكس الزمني، ولكننا نضاعفها بكتابة:

(220)

العمل المترافق يؤدي إلى:

(230) ( c' = l c )

---- نفس الموقف السابق، مع حساب العمل المعاكس:

(230 ب)

وتحتفظ بالقيمة القياسية:

(230 ج)

لكن انتبه، عند اشتقاق المصفوفة، لا تُلصق لنا ( dl )

لأن ( l ) ليس معلمة للمجموعة، ولا متغيرًا حرًا كـ ( f ) أو ( \mathbf{C} ) أو ( \mathbf{L}_0 ).

بما أن ( l = \pm 1 )، فإنه يُنشئ ببساطة مكونتين للمجموعة (أو بشكل أدق يضاعف عدد المكونات، لأن المجموعة لديها بالفعل مكونتين تشكلان مجموعة لورنتز الأورثوكرونية).

فعدد المكونات يصبح حينها ( 2 \times 2 = 4 )، ويمكن اعتبار ( c ) كـ شحنة. وعند ( l = -1 )، ينتج توازيًا زاويًا (z-symétrie).

تمديد مجموعة بيت.

كما رأينا سابقًا كيف يمكننا إجراء تمديدات متتالية لمجموعة بوانكاريه (ست مرات).

(231)

فكان يُمدد الزخم بنفس القدر:

(232) ( \mathbf{J}_{pe} = { q, c_B, c_L, c_m, c_t, v, \mathbf{J}_p } )

وقد اقترحنا سابقًا معالجة هذه القيم القياسية الإضافية كشحنة كمية للجسيمات.

وبالمقارنة، نمدد المجموعة إلى:

(233)

العمل المترافق يعطي:

( q' = l q )

( c_B' = l c_B )

( c_L' = l c_L )

( c_m' = l c_m )

( c_t' = l c_t )

( v' = l v )

عند ( l = -1 )، ينتج توازيًا (C-symétrie)، أي تبديل الشحنة.

يمكننا "تجميع" ذلك باستخدام:

(234)

فتصبح المجموعة الأولى لبيت:

(235)

بكتابة العمل المترافق:

(236) ( \mathbf{C}' = l \mathbf{C} )

( \mathbf{C} \rightarrow -\mathbf{C} ) يمثل التوازي C.