الفكاهة والرياضيات
الفكاهة والرياضيات
23 أغسطس 2005
الأستاذ تاردي يعثر، بمحض الصدفة، على المعادلة الضمنية للعضو الذكري
"البِتويد الخاص بتاردي"
تجدر الملاحظة إلى البساطة المتناهية لهذه المعادلة الضمنية، من الدرجة السادسة. يتعلق الأمر باكتشاف محض بالمصادفة. في الواقع، كان تاردي قد عاد إلى العمل لمحاولة إيجاد الكأس المقدسة للرياضيات: معادلة ضمنية لسطح بويف متوازنة أخيرًا. اكتُشف هذا السطح على يد فيرنر بويف، قبيل صيف 1902، في غوتنغن. عرضه، وهو طالب شاب في تلك الجامعة، على الرياضياتي الشهير هيلبرت، الذي وجده مثيرًا للاهتمام الشديد واتفق مع تلميذه على إعادة النظر في كل ذلك عند بداية العام الدراسي. لكن، لسوء الحظ، اختفى بويف دون أن يترك أثرًا. لا أحد يعرف ما آل إليه مصيره، ولا يعرف قبره. كان بعضهم قد اقترح، في قسم الرياضيات في غوتنغن، تكريمًا له، إنشاء "قبر الرياضياتي المجهول".
عرض قصر الاكتشاف لمدة ربع قرن تمثيلًا لهذا السطح، كنت قد ابتكرته ثم وجدت لاحقًا، مع جيروم سوريو، ابن الرياضياتي جان-ماري سوريو، أول تمثيل وسيطي، وهو ما يظهر في الصفحة الأخيرة من كتاب "التوبولوجيكون".
مقتطف من قصتي المصورة "التوبولوجيكون"
في الأسفل، البرنامج، المكتوب بلغة بيسيك، الذي أتاح الحصول على أولى الصور المُولّدة حاسوبيًا للجسم. تولّى كولونا (المدرسة المتعددة التقنيات) هذا العمل، وجميع الصور المُولّدة حاسوبيًا لسطح بويف التي يمكن العثور عليها في العالم تنطلق من هذه المعادلات الوسيطية. يُعرف الجسم بثلاثة طيّات قبيحة مميزة تحيط بـ"القطب" ولا تعود إلا إلى عيوب في ضبط الوسائط. يومًا ما، سوف نعالج أنا وتاردي مسألة الطيّات الزائفة هذه، حين يتوفر لدينا وقت.
حين قرر القصر سحب هذا السطح من المعرض طلبت استعادته وأحتفظ به الآن في منزلي، داخل صندوق ضخم. يبدو كبيضة يُحضن عليها، وهو يثير فضول الزوار كثيرًا.
هنا، يعالج كريستوف المسألة من نقطة أعلى بكثير. أنتج أبِري (أستاذ في الرياضيات العليا، تلميذ الرياضياتي الكفيف برنار موران) معادلة ضمنية، أي من النوع:
f ( x , y , z ) = 0
لكنه، بعد مشورة سيئة من رئيسه موران، اتخذ المحور oz محورَ تناظر. ونتيجة لذلك أصبحت المعادلة معقدة، قليلة الجمال. النتيجة: السطح الناتج له... آذان أرنب. إنها نسخة "روجر رابيت" من سطح بويف. لكن، لسوء الحظ، هذا كل ما هو متاح، وهذه هي المعادلة التي ستجدونها في كتب الرياضيات في العالم كله. مع ذلك توجد معادلة أبسط بلا حدود. هذا مؤكد. فكّروا في معادلة سطح شتاينر الروماني الفخم:
x 2 y 2 + y 2 z 2+ z 2x 2 - 2 x y z = 0
التي لا يمكن للمرء أن يخمّن غناها أبدًا. فيما يلي، الصورة التي حصل عليها تاردي:
سطح شتاينر الروماني، مرسومًا ببرنامج Winplot. في الأصل، النقطة الثلاثية.
على المحاور، النقاط الحدّية الست
تألفت هذه الصورة ببرنامج Winplot الممتاز، الذي ابتكره ريتشارد باريس، من بواتييه،
قابل للتنزيل مجانًا
انظر أيضًا http://www.mathcurve.com/surfaces/romaine/romaine.shtml
يجب أن يكون بالإمكان وصف سطح بويف بمعادلة بسيطة بالقدر نفسه، ببضعة حدود إضافية فقط. إنه من الدرجة السادسة. يمتلك تناظرًا ثلاثيًا، ولذلك يُستحسن البحث عن تمثيل يكون فيه المتجه (1، 1، 1) محورَ تناظر، وهو ما يجعل المعادلة ثابتة عند إجراء تبديل دوري للمتغيرات x وy وz. علاوة على ذلك، إذا وضعنا أصل الإحداثيات عند النقطة الثلاثية وكانت المستويات المماسّة عند هذه النقطة متعامدة، فإن الحد الأدنى درجة هو بالضبط x y z. (المعادلة الضمنية x y z = 0 تمثل ثلاثة مستويات تتقاطع عند الأصل).
لذلك يبحث تاردي في هذا الاتجاه، مستعينًا ببرنامج يتيح تمثيل الأسطح ومقاطعها. وبإجراء أحد هذه المقاطع وقع بالمصادفة على معادلة البِتويد، المذكورة أعلاه، التي ستُقدَّر أناقتها وبساطتها الملحوظتان.
27 أغسطس 2005: إعادة كتابة سفر التكوين
أثار هذا الاكتشاف بعض الاضطراب في عالم الرياضيات، إذ احتجّت بشدة بعض الممثلات النسائية، المرتبطات ارتباطًا وثيقًا بحركة تحرير المرأة. لكن، بما أن اكتشافًا قد يجرّ اكتشافًا آخر، اهتم باحث أمريكي، كيفن فاين، متخصص في فيزياء البلازما، بالمعادلة:
z ( y , y ) = x6 + y6 - x3 y2 - y3 x2
وهي امتداد ثلاثي الأبعاد لبِتويد تاردي. الصور، التي حُصل عليها ببرنامج Matlab، هي التالية:
الفوفونويد الخاص بكيفن فاين
منظر آخر للفوفونويد الخاص بكيفن فاين
المنحنى الأحمر (رسم تخطيطي) يمثل التقاطع مع المستوى z = 0.
نقرأ في سفر التكوين أن الله خلق المرأة من عنصر مأخوذ من الرجل (أحد أضلاعه). وهذا يوحي بالعكس، بما أن الرجل، وفق هذا المخطط، المجازي بطبيعة الحال، سيكون بنية ثنائية الأبعاد، في حين ستكون المرأة بنية ثلاثية الأبعاد، والأول ليس سوى مجموعة جزئية (التقاطع بالمستوى z = 0) من الثانية.
وهذا ردّ كيفن فاين بتاريخ 28 أغسطس 2005:
عزيزي جان بيير
أشعر بالشرف. لسوء الحظ أنا أكبر من أن أحصل على ميدالية فيلدز (عمري 51 سنة)، لكنه لشرف كبير في حد ذاته أن يُربط اسمك بمنحنى. تخيل فخري وأنا أعلم أنه في المستقبل قد يقول رياضياتي ما: "المعذرة، لكن ما لديك هناك هو فوفونويد فاين."
كيفن
ترجمة
عزيزي جان-بيير،
أشعر بالشرف. لسوء الحظ أنا أكبر من أن أحصل على ميدالية فيلدز (عمري 51 سنة). ومع ذلك، يبقى شرفًا أن يُربط اسم المرء بمنحنى. تخيل فخري أن يقول رياضياتي يومًا في المستقبل "المعذرة، لكن ما تراه أمام عينيك هو فوفونويد رائع".
كيفن
عزيزي جان بيير
أشعر بالشرف. لسوء الحظ أنا أكبر من أن أحصل على ميدالية فيلدز (عمري 51 سنة)، لكنه لشرف كبير في حد ذاته أن يُربط اسمك بمنحنى. تخيل فخري وأنا أعلم أنه في المستقبل قد يقول رياضياتي ما: "المعذرة، لكن ما لديك هناك هو فوفونويد فاين."
كيفن
ترجمة
:
عزيزي جان-بيير،
أشعر بالشرف. لسوء الحظ أنا أكبر من أن أحصل على ميدالية فيلدز (عمري 51 سنة). ومع ذلك، يبقى شرفًا أن يُربط اسم المرء بمنحنى. تخيل فخري أن يقول رياضياتي يومًا في المستقبل "المعذرة، لكن ما تراه أمام عينيك هو فوفونويد رائع".
كيفن
العودة إلى الدليل العودة إلى الصفحة الرئيسية
**عدد الاتصالات منذ 24 أغسطس 2005 **: