الرياضيات هندسة سطح طوبولوجيا

كيفية تحويل سطح كروسكاب

إلى سطح بوي (يمين أو يسار، حسب اختيارك)

من خلال سطح ستاينر الروماني.

الإيطالية: أنديرا سامبوسيتي، جامعة روما

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 سبتمبر - 25 أكتوبر 2003 **

**الصفحة 2 **

هناك "سطح كروسكاب" (كما ستكتشفه في الصور الواقع الافتراضي). يحتوي على نقطتين حادتين هما قمم لخط تداخل ذاتي. يمكن بناء هذا السطح عن طريق الضغط على بالون باستخدام ملقطات شعر. ولكن يمكن أيضًا بناء تمثيلات هندسية له. والآخر في الأسفل سيهمنا بشكل خاص.

في الجدول 4 تجد أصعب شيء لتعلم. يبدو لي من المستحيل أن يفهم أحد هذه الأشياء ببساطة من خلال النظر إلى الصور. قم ببناء نماذج. باختصار، يتم سحب النقطة الحادة C2 نحو "الداخل من السطح" (والذي لا معنى له بالطبع، لأنك بالتأكيد لاحظت فورًا أن سطح كروسكاب أحادي الوجه: لا يملك وجهًا خارجيًا وداخليًا). مع الاستمرار، يمر السطح "بالتداخل الذاتي"، ويتم إكمال خط التداخل الذاتي، بتحقيق بعض التقوس، بمنحنى على شكل 8. تم إنشاء نقطة ثلاثية T بشكل غير مباشر.

يصبح السطح أكثر وضوحًا في شكله الهندسي، وفي الأسفل، قمنا بتكبير بعض العناصر لعرض ما يدفعنا لتحويل هذا الكائن إلى سطح ستاينر الروماني (انظر المحاكاة الواقع الافتراضي)، والذي يحتوي على شكل هندسي بسيط يتكون من تجميع أربعة مكعبات (هنا نرى فقط ثلاثة).

الجدول 5: النسخة الهندسية من اليسار، والنسخة الدائرية من اليمين. السهم يمر عبر النقطة التي نقوم بـ"إغلاقها". أسفله، بداية عملية الإغلاق.

الجدول 6: يتم إغلاق السطح ويخلق نقطة مفردة B. في الواقع، لأننا نقوم بإغلاقه من كلا الطرفين (للتوفير في الوقت)، تتشكل نقطتان مفردتان S1 و S1، ثم نقطتان حادتان. في هذه المرحلة، بدون ورقة كرتون، مقص، وشريط لاصق، أنت في موقف صعب.

الجدول 7: هنا قمنا فقط بنقل النقاط الحادة المختلفة. إذا كانت النقطة C2 "واضحة"، فمن المحتمل أنك ستواجه صعوبة أكبر في تحديد النقاط C3 و C4 كنقاط حادة. ومع ذلك، هما موجودتان، في طرفي خط تداخل ذاتي. فوق النقطة C3، هناك ببساطة ما سميته "نقطة مخروطية"، أي نقطة تتركز فيها انحناءة إيجابية (أنا أسمي نقطة تتركز فيها انحناءة سلبية "نقطة سلبية"). بتحريف هذا الكائن قليلًا، نصل إلى الشكل الهندسي لسطح ستاينر الروماني (تم اختراعه من قبل ستاينر في روما؛ انظر توضيحه في الواقع الافتراضي).

إذن، تم إنجاز اللعبة. هناك أنواع مختلفة من الأسطح، حسب القواعد التي نفرضها. تُسمى الأسطح التي لا تتقاطع ذاتيًا "الإدخالات" (للكرة، أو الحلقة في R3). عندما تتقاطع ذاتيًا ولكن المماس يتغير بشكل مستمر دون أن يتحلل، تُسمى "الإدخالات". على سبيل المثال: زجاجة كلاين، في تمثيلها الكلاسيكي. لا توجد تمثيلات لزجاجة كلاين في R3 كإدخال: فهي تتقاطع بالضرورة. تحتوي الإدخالات على مجموعات تداخل ذاتي بدون نقاط حادة. هذه المجموعات هي منحنيات مستمرة، ولكن يمكن أن تتقاطع في نقاط مزدوجة أو ثلاثية. ملاحظة: يمكن تمثيل الكرة كإدخال (ليس إدخالًا)، عن طريق تداخلها ذاتيًا. في الواقع، هذه هي الطريقة التي تسمح لك بالانعكاس (انظر طريقة أ.فيليبس، 1967، والتي تأخذ خطوة مركزية في تغطية مزدوجة لسطح بوي؛ وانظر أيضًا ب.مورين وج.بي.بيت، 1979، حيث تم أخذ نموذج مورين "بأربعة أذنين" كنموذج أساسي، وترى هنا تمثيلًا هندسيًا لنموذج اخترعته منذ حوالي عقد من الزمن).

خطة تركيب هذا الكائن باستخدام الورق والمقص

إذا تم توسيع قواعد اللعبة، مع قبول أن هذه الكائنات تسمح أيضًا بوجود نقاط حادة، نحصل على الإدخالات (كروسكاب، سطح ستاينر الروماني). لا أعرف إذا كان "الإدخال" هو المصطلح الصحيح، ولكن بما أنني لم أجد أي رياضي يمكنه توضيح الأفكار لي حول هذا الموضوع، وجدت من الممتع اختراع مصطلح، مؤقتًا على الأقل، حتى يظهر عالم هندسي متمرس. لذلك، سطح كروسكاب وسطح ستاينر الروماني هما إدخالات للـ "المستوى المشروع".

بصراحة، بعد خمسة وعشرين عامًا من العمل وخيابتي في مجال المغناطيسية والديناميكا المائية، بدأت هذه الأعمال لأنها بدت لي الأبعد ما يمكن أن يكون عن أي تطبيقات عسكرية. ولكن، كما أشار لي صديقي القديم ميهين، قد يُفهم مصطلح "الإدخال" بشكل خاطئ، مما قد يوحي بالبحرية أنني أحاول إخفاء تطورات في مجال الدفع تحت الماء من خلال هذه الدراسات.

تتيح قاعدة "الإنشاء-التفكيك" لزوج من النقاط الحادة الانتقال من إدخال لشيء إلى إدخال آخر، وهو ما قمنا به بالفعل، موضحين أن كروسكاب وسطح ستاينر الروماني هما إدخالان لنفس الشيء، المعروف باسم المستوى المشروع. لا تحاول تخيل "المستوى المشروع". يمكن فهم هذا الكائن فقط من خلال تمثيلات مختلفة. أما بالنسبة للمصطلح "المشروع"، فهو مجرد واحد من المئات من المصطلحات التي اخترعها الرياضيون لتشتيت أولئك الذين يرغبون في الدخول إلى دائرتهم المغلقة. لا يساعدك زانيتشيلي بأي شكل في الرياضيات.

لدينا الآن أن نرى كيف ننتقل إلى سطح بوي، وهو إدخال للمستوى المشروع

الصفحة السابقة الصفحة التالية

العودة إلى الفهرس "تحويل كروسكاب إلى بوي "

العودة إلى القسم "الجديد" العودة إلى القسم "الدليل" العودة إلى الصفحة الرئيسية

عدد الزيارات منذ 25 أكتوبر 2003 :

الصور