الرياضيات هندسة الأسطح الطوبولوجيا

كيفية تحويل سطح كروسكاب إلى سطح بوي (يمين أو يسار، حسب اختيارك) من خلال سطح ستاينر الروماني.

الإيطالي: أندريا سامبسكيتي، جامعة روما

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 سبتمبر - 25 أكتوبر 2003 **

**الصفحة 2 **

هناك "سطح كروسكاب" (كما ستكتشفها في الصور الواقع الافتراضي). يحتوي على نقطتين حادتين هما قمة لخط تداخل ذاتي. يمكن بناء هذا السطح عن طريق تضييق بالون بمسامير لتسكين الشعر. ولكن يمكنك أيضًا بناء تمثيلات هندسية له. الذي في الأسفل سيهمنا بشكل خاص.

في الجدول 4 تجد أصعب شيء لتعلم. يبدو لي من المستحيل أن يفهم أحد هذه الأشياء بسهولة فقط من خلال النظر إلى الصور. قم ببناء نماذج. باختصار، يتم سحب النقطة الحادة C2 نحو "الداخل من السطح" (والذي، بين القوسين، لا معنى له لأنك بالتأكيد لاحظت فورًا أن سطح كروسكاب أحادي الوجه: لا يملك وجهًا خارجيًا وداخليًا). مع الاستمرار، يمر السطح "بتداخل ذاتي"، ويُكمل مجموعات التداخل الذاتي، قليلًا من التقوس، بمنحنى على شكل 8. تم إنشاء، بين القوسين، نقطة ثلاثية T.

يصبح السطح أكثر وضوحًا في شكله الهندسي، وفي الأسفل، قمنا بتكبير بعض العناصر لعرض ما يدفعنا لتحويل هذا الكائن إلى سطح ستاينر الروماني (انظر المحاكاة الواقع الافتراضي) الذي يحتوي على شكل هندسي بسيط يتكون من تجميع أربعة مكعبات (هنا نرى فقط ثلاثة).

الجدول 5: النسخة الهندسية إلى اليسار، والنسخة الدائرية إلى اليمين. تمر السهم من خلال النقطة التي نقوم بـ"إغلاقها". في الأسفل، بداية عملية الإغلاق.

الجدول 6: يتم إغلاق السطح ويخلق نقطة مفردة B. في الواقع، بما أننا نقوم بإغلاقه من كلا الطرفين (للتوفير في الوقت)، تتشكل نقطتان مفردتان S1 و S1، ثم نقطتان حادتان. في هذه المرحلة، بدون ورقة كرتون، مقص، وشريط لاصق، فأنت في موقف صعب.

الجدول 7: هنا قمنا فقط بنقل النقاط الحادة المختلفة. إذا كانت النقطة C2 "واضحة"، فمن المحتمل أنك ستواجه صعوبة أكبر في تحديد النقاط C3 و C4 كنقاط حادة. ومع ذلك، هما موجودتان، في طرفي خط تداخل ذاتي. فوق النقطة C3 يوجد ببساطة ما سميته "نقطة مخروطية"، أي نقطة حيث تتركز انحناءة إيجابية (أنا أسمي نقطة حيث تتركز انحناءة سلبية "نقطة سلبية"). عن طريق تغيير قليلاً هذا الكائن، نصل إلى الشكل الهندسي لسطح ستاينر الروماني (ابتكره ستاينر في روما؛ انظر رسمه في الواقع الافتراضي).

إذن، اللعبة انتهت. هناك أنواع مختلفة من الأسطح حسب القواعد التي تفرضها. الأسطح التي لا تتقاطع ذاتيًا تسمى "الإدخالات" (لكرة الأرض، أو حلقة الدوائر في R3). عندما تتقاطع ذاتيًا ولكن المماس يختلف بشكل مستمر دون أن يتحلل، تسمى الإدخالات. على سبيل المثال: زجاجة كلاين، في تمثيلها الكلاسيكي. في R3 لا توجد تمثيلات لزجاجة كلاين على شكل إدخال: فهي تتقاطع بالضرورة. الإدخالات تحتوي على مجموعات تداخل ذاتي بدون نقاط حادة. هذه المجموعات منحنى مستمر، ولكن يمكن أن تتقاطع في نقاط مزدوجة أو ثلاثية. ملاحظة: يمكن تنفيذ الكرة على شكل إدخال (الذي لا يُعتبر إدخالًا) عن طريق تداخلها ذاتيًا. هذا هو الطريقة التي تُمكن من تدويرها (انظر طريقة أ.فيليبس، 1967، والتي تأخذ خطوة مركزية في تغطية مزدوجة لسطح بوي؛ وانظر أيضًا ب.مورين وج.بي.بيت، 1979، حيث تم اختيار نموذج "الأذنين الأربعة" لمورين كنموذج رئيسي، وهو ما تراه تمثيلًا هندسيًا هنا الذي اخترعته منذ عقد من الزمان).

خطة تركيب هذا الكائن باستخدام الورق والمقص

إذا تم توسيع قواعد اللعبة بالموافقة على أن هذه الكائنات تسمح أيضًا بوجود نقاط حادة، نحصل على الإدخالات(كروسكاب، سطح ستاينر الروماني). لا أعرف إذا كان "الإدخالات" هو المصطلح الصحيح، ولكن بما أنني لم أجد أي رياضي يمكنه توضيح الأفكار لي في هذا الصدد، وجدت من الممتع اختراع مصطلح، مؤقتًا على الأقل حتى يظهر عالم هندسي مختص. إذن، سطح كروسكاب وسطح ستاينر الروماني سيكونان إدخالات "المستوى المشروع".

بصراحة، بعد خمسة وعشرين عامًا من العمل وانكساراتي في مجال المغناطيسية السائلة، بدأت هذه الأعمال لأنها بدت لي أبعد ما يمكن أن تكون عن أي تطبيقات عسكرية. ولكن، كما أشار لي صديقي القديم مينه، قد يُساء فهم مصطلح "الإدخالات" ويُفهم من قبل البحرية أنه من خلال هذه الأبحاث أحاول إخفاء تطورات في مجال الدفع تحت الماء.

تتيح قاعدة "الخلق-الانحلال" لزوج من النقاط الحادة الانتقال من إدخال لشيء إلى آخر، وهو ما قمنا به بالفعل، موضحين أن كروسكاب وسطح ستاينر الروماني هما إدخالان لنفس الشيء، المعروف بـ*المستوى المشروع. *لا تحاول تخيل "المستوى المشروع". يمكن فهم هذا الكائن فقط من خلال تمثيلات مختلفة. أما بالنسبة للمصطلح "المشروع"، فهو مجرد واحد من الألف الذي اخترعه الرياضيون لتشتيت أولئك الذين يرغبون في دخول دائرتهم المغلقة. لا يساعدك زانيكيلي في الرياضيات.

لدينا الآن أن نرى كيف ننتقل إلى سطح بوي، وهو إدخال للمستوى المشروع

الصفحة السابقة الصفحة التالية

العودة إلى الفهرس "تحويل كروسكاب إلى بوي"

العودة إلى القسم "الجديد" العودة إلى القسم "الدليل" العودة إلى الصفحة الرئيسية

عدد الزيارات منذ 25 أكتوبر 2003 :

الصور