هندسة سطح بوي نموذج متعدد الأوجه سطح ستاينر الروماني

كيفية تحويل سطح كروس كاب إلى سطح بوي (يمين أو يسار، حسب اختيارك) من خلال سطح ستاينر الروماني.

الإيطالية: أنديrea سامبوزيتي، جامعة روما

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 سبتمبر - 25 أكتوبر 2003 **

**الصفحة 4 **

نقدم النموذج من منظور آخر:

الجدول 14: نكرر نفس العملية دائمًا لخلق "الأذن الثالثة" من منحنى التداخل الذاتي. في النموذج متعدد الأوجه، تأخذ هذه الأخيرة شكل ثلاثة مربعات لها رأس مشترك: النقطة الثلاثية T .

الجدول 15: عند دوران الكائن، ستجد النسخة متعددة الأوجه من سطح بوي الذي قدمته في "توبولوجيكون" (حيث يمكنك أيضًا العثور على خريطة تركيب تسمح لك ببناءه).

الجدول الأخير: حاولت توضيح سطح ستاينر بينما ينحني ويتحول إلى سطح بوي.

نرى أن رسمه بشكل "مدور" يتطلب مهارة كبيرة لفهمه. يشعر عيننا بانزعاج كبير عندما يتعلق الأمر بفهم كائن حيث تتداخل أكثر من ورقتين على نفس الخط المرئي. من هنا أهمية النموذج متعدد الأوجه، الذي يتيح لأي شخص، إذا حاول بناء النماذج الصغيرة بنفسه، فهم تحولات تُعتبر معقدة في الهندسة. لاحظ بشكل ملاحظة أن، حسب الأزواج من النقاط الحادة المختارة، نحصل على سطح بوي "يمين" أو "يسار" (تعريفات تمامًا عشوائية). يتم غمر مستوى المشروع في الفضاء من خلال تمثيلين "antiautomorfi" متشابهين. لذلك نرى أيضًا أنه يمكن الانتقال من سطح بوي اليميني إلى سطح بوي اليساري من خلال نموذج "مركزي" وهو سطح ستاينر الروماني.

من المؤكد أنه سيكون جميلًا إذا تم نشر هذه الرسومات في مجلات مثل Pour la Science أو La Recherche. ولكن منذ عشرين عامًا، تم منعي من النشر في هذه المجلات بسبب "الانحراف الوهبي". شكرًا لك، السيد هيرفيه ثيس وفيليب بولانجر. لقد فقدت عدّ عدد المقالات من هذا النوع التي قدمتها لهذه المجلات وتم رفضها بلطف. تعتاد في النهاية على وضعك كمُنفي.

ك anecdote، هناك "جائزة ألمبيرت" المخصصة لتكريم مؤلفي الكتب الرياضية التثقيفية. تم سرد القصة لي من قبل عضو في اللجنة المكلفة بتحديد من سيحصل على الجائزة (هناك بالطبع قضايا مالية وراء ذلك). حوار:

• في النهاية، لماذا لا نمنح الجائزة لبيت؟ كتب أعمالًا مميزة مثل "Géométricon"، "Trou Noir" و"Topologicon".

• نعم، لكنه لم يفعل فقط ذلك.

• ما الذي تشير إليه؟

• لقد كتب أيضًا "Mur du Silence".

• أه، حسنًا، إذًا ....

نعم، "Mur du Silence"، المنشور في عام 1983، هو ألبوم مخصص لـ MHD. و، كما يعلم كل منا، هذه العلوم التآكلية لها ميزة، أو عيب، أنها تسمح للأطباق الطائرة بالتحرك بسرعة فوق الصوتية دون صوت "Bang".

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

لدي في صنادقي نسخة رائعة من "عكس المكعب"، والتي ليست النسخة متعددة الأوجه من نسخة مورين. كلها من إبداعي. في أحد الأيام ....

22 أكتوبر 2003 : لا نتعب كثيرًا على هذه الصفحات، إذا أخذت في الاعتبار العداد. يوم الاثنين 13 أكتوبر 2003، قدمت محاضرة في CMI (مركز الرياضيات والذكاء الاصطناعي في شاتو غومبرت-مارسيليا) بدعوة من تروتمن. في تلك المناسبة، تمكنت من إخراج مجموعة من ثلاثين نموذجًا من الورق، يمكنكم في يوم من الأيام الاستمتاع بجديدها، لأنها تم تصويرها بواسطة كريستوف تاردي.

عندما تقدم محاضرة، تُخلق جو معين. في الصورة أدناه، رؤية جغرافي يعبر عن حيرته.

في الخلفية، جزء من النماذج الصغيرة المُعرضة بمساعدة شريك عملي الطويل، بوريس كوليف، عضو في القسم، وهو أيضًا جغرافي. في لحظة معينة، طرحت السؤال:

• كم منكم رأى سطح ستاينر الروماني من قبل؟ رفعوا أيديكم.

لم ير أحد من قبل. شعرت أنه من المفيد تقديم هذا الكائن، مع برنامج واقع افتراضي، على جهاز الحاسوب المحمول الذي كنت أملكه، برنامج تم إنشاؤه بمساعدة كريستوف تاردي، مهندس، وفريديريك ديسكامب، من معهد لاو لانجفين في غرناي (ILL). من الواضح أن هذه العرض تربك الجمهور، الذي لا يعتاد رؤية الأسطح الرياضية تدور بحرية.

لقد ساعدت جدولتين من الورق، مرئيتين في المقدمة، في تقديم تسلسل النماذج الصغيرة بترتيب منطقي. النماذج الخضراء والصفراء توضح، بشكل متعدد الأوجه، الأداة الأساسية لإنشاء وتفكيك زوج من النقاط الحادة. الكائن الأبيض البعيد هو نسخة متعددة الأوجه من سطح كروس كاب، والذي يتحول أولاً إلى نسخة متعددة الأوجه من سطح ستاينر الروماني، ثم، مترًا واحدًا بعيدًا، حسب الرغبة، إلى سطح بوي "يمين" أو "يسار".

تحليل النماذج الصغيرة يكشف عن ملاحظات متعددة في الجمهور. أحد الجغرافيين يسأل:

*- إذا كان صحيحًا أن، من خلال متابعة هذه النماذج في هذا الترتيب، يمكن الانتقال من سطح كروس كاب إلى سطح بوي، يبدو أن، من خلال المتابعة العكسية، يمكن تحويل سطح بوي إلى سطح كروس كاب. *

أجيب بنعم. متحمسًا، يضيف محادثتي:

*- إذًا، إذا وصلنا إلى مرحلة سطح ستاينر الروماني ووقفنا، يجب أن يكون من الممكن العودة إلى سطح بوي، لكن مقلوبًا مقارنة بالسطح الأصلي. *

أوافق مرة أخرى. ولكن، للأسف، لا أحد سيتطوع لتقديم أي توضيحات حول هذا العالم الغريب حيث يسمح للانغماسات للأسطح المغلقة أن تحتوي على نقاط حادة، تُنشأ أو تُحلّل بأزواج، والمجموعة التي تشكل نوعًا من تمديد لعالم الانغماسات. يبدو لي أن مصطلح "summersione" مناسب. إذا كان القارئ قادرًا على تقديم أي توضيحات، فهو مرحّب به.

انحناء مركّز في نقطة حادة.

سنحسبه بجمع الزوايا في الرأس ومقارنتها بالنتيجة التي نحصل عليها في حالة المستوى الإقليدي: 2p.

في الأعلى اليسار، يمكنك رؤية واحدة من العديد من التمثيلات متعددة الأوجه الممكنة لنقطة حادة. "تفكيك" السطح يؤدي إلى مجموع زوايا يتجاوز القيمة 2p بـ 2a. من هنا نستنتج أن الانحناء الزاوي المركّز حول هذه النقطة C هو -2a. إذا كان الزاوية a تساوي p/2، فإن الانحناء السلبي يساوي -p (الصورة في الأسفل اليسار). في الواقع، يمكن أن يأخذ انحناء نقطة حادة قيمًا لا نهائية. في الأسفل اليمين، نزيد مجموع الزوايا وتصبح الانحناءة سلبية أقل من -p (لقد زدنا الانحناء السلبي).

باستخدام الطريقة العكسية، يمكننا الوصول إلى موقف مثير للدهشة: يمكننا جعل الانحناء (الزاوي) المركّز في C ... صفرًا:

الآن نبدأ من تمثيل متعدد الأوجه لسطح كروس كاب يحتوي على نقطتين حادتين كل منهما بانحناء يساوي -p:

في هذه الصورة، هناك ثمانية "بوزيشيون" بقيمة +p/2. نضيف أربعة "بوزيشيون" إضافية بانحناء +p/4 وأربعة "نegaكون" بانحناء -p/4.

إضافة إلى النقطتين الحادتين بانحناء -p.

المجموع: 2p

بقسمة قيمة هذه "الانحناءة الإجمالية" على 2p، نحصل على قيمة خاصية أويلر-بونكاريه لأي تمثيل للمستوى المشروع (أو سطح بوي).

خلال المحاضرة، ذكرت الفن وطريقة تبديل النقطتين الحادتين لسطح كروس كاب باستخدام الانعكاس من...