هندسة الأسطح النموذجية الرياضية

كيفية تحويل سطح كروسكاب إلى سطح بوي (يمين أو يسار، حسب الاختيار) من خلال سطح ستاينر الروماني.

الإيطالية: أندريا سامبوسيتي، جامعة روما

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 سبتمبر - 25 أكتوبر 2003 **

**الصفحة 4 **

نعرض النموذج من منظور آخر:

الجدول 14: نكرر نفس العملية دائمًا لإنشاء "الأذن الثالثة" من منحنى التداخل الذاتي. في النموذج الهرمي، تأخذ هذه الأخيرة شكل ثلاثة مربعات لها رأس مشترك: النقطة الثلاثية T .

الجدول 15: عند تدوير الكائن، ستجدون النسخة الهرمية من سطح بوي الذي قدمته في "توبولوجيكون" (حيث يمكنك أيضًا العثور على خطة تركيب تسمح ببناءه).

الجدول الأخير: حاولت توضيح سطح ستاينر بينما ينحني ويتحول إلى سطح بوي.

نرى أن، مرسومًا بشكل "دائري"، يحتاج الأمر إلى وقت طويل لفهمه. يشعر عيننا بانزعاج كبير عندما يتعلق الأمر بفهم كائن حيث تتداخل أكثر من ورقتين على نفس الخط البصري. من هنا يكمن فائدة النموذج الهرمي، الذي يتيح لأي شخص، إذا جرّب بناء النماذج الصغيرة بنفسه، فهم تحولات تُعتبر معقدة في الهندسة. لاحظ بشكل غير مباشر أن، حسب الزوج من النقاط الحادة المختارة، نحصل على سطح بوي "يميني" أو "يساري" (تعريفات تمامًا عشوائية). يُغمر المستوى المشروع في الفضاء من خلال تمثيلين "غير متماثلين" معاكسين. لذلك، نرى أيضًا أنه يمكن الانتقال من سطح بوي يميني إلى سطح بوي يساري من خلال نموذج "متوسط" وهو سطح ستاينر الروماني.

من المؤكد أن من الرائع لو تم نشر هذه الرسومات في مجلات مثل Pour la Science أو La Recherche. لكن منذ عشرين عامًا، تم حظر نشري في هذه المجلات بسبب "الانحراف الوهبي". شكرًا لك يا سيد هيرفيه ثيس وفيليب بولانجر. لقد فقدت عدّ عدد المقالات من هذا النوع التي قدمتها لهذه المجلات والتي تم رفضها بذكاء. تعتاد في النهاية على وضعك كمُحْرَم.

ك anecdote، يوجد "جائزة ألمبيرت" المخصصة لتكريم مؤلفي الكتب الرياضية الترفيهية. تم سرد القصة لي من قبل عضو في لجنة قررت من سيُمنح الجائزة (هناك بالطبع قضايا مالية وراء ذلك). محادثة:

• في النهاية، لماذا لا نمنح الجائزة لبيت؟ لقد كتب أعمالًا مميزة مثل "Géométricon"، "Trou Noir" و"Topologicon".

• نعم، لكنه لم يفعل فقط ذلك.

• ما الذي تقصد؟

• لقد كتب أيضًا "Mur du Silence".

• أه، حسنًا، إذًا ....

نعم، "Mur du Silence"، الذي تم نشره في عام 1983، هو ألبوم مخصص لـ MHD. و، كما يعلم كل منا، هذه العلوم المُهْلِكة تتميز، أو تُعَيِّبها، بتمكين الأطباق الطائرة من الحركة بسرعة تفوق الصوت دون صوت "Bang".

« خفِّي هذه العلم، لا أستطيع رؤيته »

لدي في صنادقي نسخة رائعة من "عكس المكعب"، والتي ليست النسخة الهرمية للنوع Morin. كلها من إبداعي. أحد الأيام ....

22 أكتوبر 2003 : لا نتعب كثيرًا على هذه الصفحات، إذا أخذنا بعين الاعتبار العداد. في يوم الإثنين 13 أكتوبر 2003، قدمت محاضرة في CMI (مركز الرياضيات والحوسبة في شاتو غومبرت-مارسيليا) بدعوة من Trotman. في تلك المناسبة، تمكّنت من إخراج مجموعة من ثلاثين نموذجًا من الورق، يمكنكم في يوم ما الاستمتاع بجديدها، لأنها تم تصويرها بواسطة كريستوف تاردي.

عندما تُقدّم محاضرة، تُخلق جوًا معينًا. في الصورة أدناه، رؤية جغرافي يعبّر عن حيرته.

في الخلفية، جزء من النماذج المُعرضة بمساعدة شريك العمل الطويل الأمد، بوريس كوليف، عضو في القسم، وهو أيضًا جغرافي. في لحظة معينة، طرحت السؤال:

• كم منكم رأى سطح ستاينر الروماني من قبل؟ رفعوا أيديكم.

لم يرَ أحدًا من قبل. شعرت أنه من المفيد تقديم هذا الكائن، مع برنامج واقع افتراضي، على جهاز كمبيوتر معي، برنامج تم إنشاؤه بمساعدة كريستوف تاردي، المهندس، وفريديريك ديسكامب، من معهد لاو لانغفين في غرنبول (ILL). من الواضح أن هذه العرض تربك الجمهور، الذي لا يعتاد رؤية الأسطح الرياضية تدور بحرية.

نماذجان من الورق، مرئيان في المقدمة، سمحوا بعرض سلسلة النماذج بأكملها في تسلسل منطقي. النماذج الزرقاء والصفراء توضح، بشكل هرمي، الأداة الأساسية لإنشاء وتفكيك زوج من النقاط الحادة. الكائن الأبيض البعيد هو نسخة هرمية من سطح كروسكاب، الذي يتحول أولاً إلى نسخة هرمية من سطح ستاينر الروماني، ثم، مترًا واحدًا بعيدًا، حسب الرغبة، إلى سطح بوي "يميني" أو "يساري".

تحليل النماذج يكشف عن ملاحظات متعددة في الجمهور. أحد الجغرافيين يسأل:

*- إذا كان صحيحًا أن، من خلال متابعة هذه النماذج في هذا الترتيب، يمكن الانتقال من سطح كروسكاب إلى سطح بوي، يبدو أن، من خلال المتابعة العكسية، يمكن تحويل سطح بوي إلى سطح كروسكاب. *

أجيب بنعم. متحمسًا، يضيف مُحاورتي:

*- إذًا، إذا توقفنا في المرحلة سطح ستاينر الروماني، يجب أن يكون من الممكن العودة إلى سطح بوي، لكن مُنعكسًا مقارنة بالسطح الأصلي. *

أتفق مرة أخرى. ولكن، للأسف، لا أحد سيتقدم لتقديم أي توضيح حول هذا العالم الغريب حيث يسمح للانغماسات للأسطح المغلقة بامتلاك نقاط حادة، تُنشَّأ أو تُفكّ بزوج، ومجموعها يشكل نوعًا من توسيع لعالم الانغماسات. أجد أن مصطلح "الانغماس" مناسب. إذا كان قارئ قادرًا على تقديم أي توضيح، فهو مرحّب به.

انحناء مركّز في نقطة حادة.

سنحسبه بجمع الزوايا في الرأس ومقارنتها بالنتيجة التي نحصل عليها في حالة المستوى الإقليدي: 2p.

في الأعلى اليسار، يمكنك رؤية أحد تمثيلات الهرم المتعددة لنقطة حادة. "تفكيك" السطح يؤدي إلى مجموع زوايا يتجاوز القيمة 2p بـ 2a. ومن ثم نستنتج أن الانحناء الزاوي المركّز حول هذه النقطة C هو -2a. إذا كان الزاوية a تساوي p/2، فإن الانحناء السلبي يساوي -p (الشكل في الأسفل اليسار). في الواقع، يمكن لانحناء نقطة حادة أن يأخذ قيمًا لا نهائية. في الأسفل اليمين، نعزز مجموع الزوايا وتصبح الانحناءة سلبية أقل من -p (لقد زدنا الانحناء السلبي).

بالعمل بشكل عكسي، يمكننا الوصول إلى موقف مثير للدهشة: يمكننا جعل الانحناء (الزاوي) المركّز في C ... صفرًا:

الآن نبدأ من تمثيل هرمي لسطح كروسكاب يحتوي على نقطتين حادتين كل منهما بانحناء يساوي -p:

في هذه الصورة، هناك ثمانية "أقطاب" مطابقة بقيمة +p/2. نضيف أربعة "أقطاب" إضافية بانحناء +p/4 وأربعة "أقطاب سلبية" بانحناء -p/4.

إضافة إلى نقطتين حادتين بانحناء -p.

المجموع الكلي: 2p

بقسمة قيمة هذه "الانحناءة الكلية" على 2p نعود إلى قيمة خاصية أويلر-بونكاريه لأي تمثيل للمستوى المشروع (أو سطح بوي).

خلال المحاضرة، ذكرت الفن وطريقة تبديل النقطتين الحادتين لسطح كروسكاب باستخدام عكس الكرة. لا أعرف بالضبط ...