إيطالي
: أندريا سامبوزيتي، جامعة روما
انقروا هنا لإظهار
رسم النموذج بمقياس 1:1، للطباعة والقص.
وبنسخ أربع نسخ منه على ورق كرتون بريستول من لونين
مختلفين، ستتمكنون من بناء النموذج بأنفسكم،
باتباع إرشادات تركيبه
لا بد أنكم رأيتم شيئًا غريبًا يدور بلا كلل
على الجزء الأيسر من الصفحة الرئيسية لهذا الموقع. ما هو؟
يومًا ما، عندما أجد الوقت، سأضع
على هذا الموقع وصفًا لقلب الكرة، كما
كنت قد شرحته في عدد مجلة Pour la Science من يناير 1979، أي...
منذ 22 سنة! كل ذلك سيتطلب تفاصيل كثيرة ومقدمة.
ماذا يعني "قلب كرة"؟ الكرة ليست لها المعنى نفسه
عند الإنسان العادي وعند الرياضي-المهندس. بالنسبة للإنسان العادي،
ليست سوى محل النقاط في الفضاء الواقعة على مسافة
R من نقطة O محددة سلفًا. أما المهندس فسيستمر في تسمية "كرة"،
بدلًا من ذلك، حتى جسمًا يقابل "كرة مشوهة"،
مثل حبة بطاطس مثلًا. لفهم هذه المفاهيم بدقة أكبر،
احصلوا على قرص Lanturlu المدمج الذي يحتوي على القصة المصورة "Topologicon".
لكن الرياضي يذهب أبعد من ذلك بقليل. يُقال عن سطح إنه
"منتظم" عندما يمكن تعريف مستوى مماس
في كل نقطة من نقاطه. وهذا يسمح بالفعل بالتفكير في عدد لا نهائي
من التشوهات المنتظمة الممكنة للكرة، في عدد لا نهائي من الأشكال الممكنة
لحبة بطاطس، مع تغيير مساحة ذلك السطح أيضًا بطريقة اعتباطية.
بعد قول ذلك، في كوننا الفيزيائي سيجد شخص يحاول قلب
الكرة (أي إخراج سطحها الداخلي إلى الخارج) نفسه
أمام استحالة جعل سطحها
يخترق نفسه. عندما يُفترض هذا الفرض، أي يُمنع أن يخترق السطح
نفسه أو حتى أن "يلمس" نفسه، يتحدث الرياضي
عن embedding للكرة S2. لكن الرياضي يسمح لنفسه بكل شيء دائمًا. الكرة
بالنسبة له جسم "افتراضي" وغير مادي،
يُعتبر فيه اختراق طبقة ما ممكنًا. التعاقب
في الرسوم أدناه يُظهر كرة تخترق نفسها. تمثيل
كهذا، أي يسمح باختراقات ذاتية، يُسمى
immersion.
لذلك تمتلك immersion مجموعة من التقاطع الذاتي
(هنا يتعلق الأمر بمنحنى دائري بسيط). لكن المستوى المماس
يجب أن يتغير بطريقة مستمرة. بعد هذه المقدمة، عندما ننظر إلى الرسم
أعلاه، نرى بوضوح أن العملية تنقل جزءًا من السطح الداخلي
(الممثل باللون الأخضر) إلى الخارج. لإكمال القلب، سيكون من اللازم
سحق هذا النوع من الأمعاء الاستوائية. يبدو هنا أن هناك مشكلة:
هذا السحق سيدمر استمرارية المستوى المماس،
وبالتالي سيحتوي هذا التحول على خطوة ليست immersion.
ذات يوم أثبت رياضيّ أمريكي، ستيفن سمال،
أن "للكرة S2 صنفًا واحدًا فقط من immersion". كان لهذه الجملة
الغامضة نتيجة مفادها أنه كان ينبغي أن يكون ممكنًا الانتقال،
عبر تحول يحتوي فقط على immersion حقيقية، من الكرة "القياسية"
إلى تمثيلها "المتقابل"، أي الذي يُستبدل فيه كل نقطة
بنقيضها: بكلمات بسيطة... كرة مقلوبة.
كان راؤول بوت رئيس سمال. فبقدر ما بدا البرهان الشكلي على هذه الحقيقة
صحيحًا، بقدر ما بدا أن لا أحد قادرًا على إنجاز
عملية القلب هذه بشكل ملموس. ظل بوت يسأل سمال "أرني
كيف تعتقد أنك ستتقدم"؛ فيجيب سمال، المعروف
بصراحته، "ليست لدي أدنى فكرة".
حصل سمال لاحقًا على ميدالية فيلدز، المعادل لجائزة نوبل في الرياضيات.
على الهامش، قد تتساءلون ربما لماذا لا توجد جائزة نوبل
للرياضيات. الجواب بسيط: هربت زوجته مع
رياضيّ.
بقيت الأمور على هذه الحال لسنوات عديدة،
إلى أن نشر رياضيّ أمريكي اسمه أنتوني فيليبس
في عام 1967، في Scientific American، نسخة أولى من هذا القلب،
بالغة التعقيد. اخترع الثانية في بداية السبعينيات
الرياضيّ الفرنسي (الكفيف) برنار موران. كنت أول من رسم
تعاقب التحولات، الذي سيكون موضوعًا، كما أعلنت لكم،
لمقال قادم على هذا الموقع، وهو مع ذلك وفير جدًا. على أي حال، كل
ذلك يقودنا إلى اعتبار. يمكن تمثيل الأسطح
بشكل متعدد السطوح. يمكن اعتبار مكعب أو رباعي سطوح
تمثيلات متعددة السطوح للكرة، بمعنى أن هذه الأجسام لها
الطوبولوجيا نفسها. بهذا الشأن، راجعوا كتابي Topologicon. علاوة على ذلك
يُفهم أنه إذا كان قلب الكرة ممكنًا، فسيكون
قلب مكعب ممكنًا بالمثل. التحول الذي اخترعه برنار موران (الذي
شرحته في مقال يناير 1979 في Pour la Science) يمر عبر
نموذج مركزي. يوجد تناظر في هذا التعاقب. وهو ما
أسميه "النموذج المركزي ذا الأذنين الأربع". أنا أستبق الأمور.
على أي حال، كما أن الكرة تصلح لتمثيلات متعددة السطوح، كذلك
يصلح الأمر للخطوات المتعاقبة لهذا التحول. ما ترونه يدور
في صفحتي الرئيسية هو النسخة متعددة السطوح للنموذج المركزي
لقلب الكرة، الذي اخترعته منذ نحو عشر سنوات. تكمن أهمية
هذه النماذج متعددة السطوح في أنه يمكن بناؤها من
أسطح مستوية. يمكن بناؤها أيضًا بالورق والمقص. ألقوا نظرة
على الرسم أدناه (وأشكر بين قوسين صديقي كريستوف تاردي،
الذي أنتج العناصر بالمقاس الصحيح).
إنه مخطط تركيب لديكم هنا رؤية
عامة له. لكن لطباعته يُفضل أن تنتقلوا إلى صفحة القص.
اطبعوها. بعد ذلك، مزودين بهذه النسخة المطبوعة على الورق
المعتاد لطابعتكم، انسخوا 4 نسخ متطابقة، اثنتين على كرتون
بريستول أخضر، واثنتين باللون الأصفر. ستتمكنون، بواسطة هذه الأوراق
التي ستقصونها، من بناء النموذج المركزي لقلب المكعب.
على العناصر التي ستقصونها توجد أزواج من الحروف
: a ، b c ، d ، e ، f إلخ.... يكفي أن تطووا الورقة بحيث تجعلون
الحروف نفسها متطابقة، ثم تثبتون الأوجه بشريط لاصق
شفاف. الرسوم التي تلي تُظهر طريقة تركيب أحد الأجزاء
الأربعة. ها هي أولًا الطريقة التي يجب أن تبدأوا بها طي أحد العناصر
الأربعة:
ها هما عنصران من العناصر الأربعة، منظورين من زوايا مختلفة.
ثم تُرتَّب بحيث تعطي جسمًا
ذا تناظر من الرتبة أربعة، تتناوب فيه عناصر خضراء وصفراء.
لرؤيته في 3d، ألقوا نظرة على إنجاز تاردي، في قسم
"الواقع الافتراضي". النموذج المركزي مركّب وأيضًا
منفذ بـ "vrml" في هذا القسم. ها هو معاد إنتاجه من وجهات نظر
مختلفة:
لا يمكن القول إن وجهة نظر تقابل
"الأعلى" والأخرى تقابل "الأسفل"، بما أن هاتين
التسميتين اعتباطيتان تمامًا. في الصورة اليسرى، النقطة
"المركزية" تقابل "النقطة المزدوجة" (حيث تتقاطع طبقتان)
في النموذج المركزي لموران، بينما النقطة المركزية في الصورة
اليمنى تقابل "النقطة الرباعية" في النموذج نفسه (حيث
تتقاطع أربع طبقات). اضطررت إلى توجيه الجسم بعناية شديدة،
بحيث لا توحي الصورة اليسرى بصليب معقوف. عدا ذلك،
من وجهة النظر المعمارية، كان يمكن لهذا التمثيل متعدد السطوح
للنموذج المركزي لموران أن يشكل مشروعًا جميلًا لبيت الثقافة
الاشتراكي الوطني.
ملاحظة أخيرة: لا يوجد تمثيل متعدد السطوح جيد
لقلب الكرة (أو المكعب). أعني بـ "جيد"
تعاقبًا من النماذج الواضحة بما يكفي بحيث يمكن وصفها
في شكل أوراق للقص بطريقة سهلة نسبيًا، مثل النموذج
أعلاه. سيكون هناك ما يدعو إلى إجراء دراسة في هذا الاتجاه، في متناول أي شخص،
حتى غير الرياضي، مثلًا نحات. منذ أكثر من عشرين سنة
كنت أستاذًا للنحت في مدرسة الفنون الجميلة في إيكس أون بروفانس،
في الوقت الذي كان فيه مديرًا صديقي العزيز جاك بوليه. في تلك الأماكن
وُلد أول تمثيل زوالي لسطح بوي بواسطة
أشكال بيضاوية، مفتاح بناء أول معادلة ضمنية أعطاها أبري.
يجب أن أقول إنني كنت آنذاك مندهشًا من الخيال الهندسي
لدى طلاب الفن، الذي كان يتجاوز غالبًا خيال... المهندسين.
عداد مثبت في 31 ديسمبر 2001. عدد
الاتصالات :