منطقة الطوبولوجيا النموذج الرياضي
الإيطالية: أندريا سامبوسيتي، جامعة روما
انقر هنا لعرض الرسم البياني للنموذج بحجم 1:1، يمكن طباعته وقطعه.
من خلال نسخ أربع نسخ على ورق كرتون ملونين مختلفين، يمكنك بناء النموذج بنفسك، واتباع التعليمات لتركيبه
من المؤكد أنك شاهدت كائن غريب يدور بلا انقطاع على الجانب الأيسر من الصفحة الرئيسية لموقعنا. ماذا هو؟
في يوم ما، عندما أجد الوقت، سأقوم بتثبيت وصف لعكس الكرة على هذا الموقع، كما قدمته في عدد Pour la Science ليناير 1979، أي... منذ 22 عامًا! سيتطلب كل هذا العديد من التفاصيل والمقدمة. ما المقصود بـ"عكس الكرة"؟ لا تعني الكرة نفس الشيء للشخص العادي والرياضياتي-الهندسي. بالنسبة للشخص العادي، ليست سوى مجموعة النقاط في الفضاء التي تقع على مسافة R من نقطة محددة مسبقًا. سيستمر الهندسي في تسمية "كرة" أيضًا كائنًا يتوافق مع "كرة مُعَدَّلة"، مثل بطاطة مثلاً. لفهم هذه المفاهيم بدقة أكبر، احصل على قرص Lanturlu الذي يحتوي على الكوميكس "Topologicon". لكن الرياضياتي يذهب أبعد من ذلك. تُسمى سطح "منتظم" عندما يمكن تعريف مستوى مماس في كل نقطة منها. هذا يسمح بالفعل بالتفكير في عدد لا يحصى من التحولات المنتظمة الممكنة للكرة، في جميع الأشكال الممكنة لبطاطة، مع تغيير مساحة السطح بشكل عشوائي. ومع ذلك، في عالمنا الفيزيائي، سيواجه شخص يحاول عكس الكرة (إحضار سطحها الداخلي إلى الخارج) صعوبة في القدرة على عبور سطحه ذاتيًا. عندما تُفترض هذه الفرضية، أي يُحظر على السطح أن يمر عبر نفسه أو حتى أن "يُلامس"، يتحدث الرياضياتي عن "الدمج" للكرة S2. لكن الرياضياتي يسمح لنفسه دائمًا بكل شيء. الكرة، بالنسبة له، كائن "افتراضي" وليس ماديًا، حيث يُعتبر عبور سطح ممكنًا. سلسلة الرسومات أدناه تظهر كرة تمر عبر نفسها. تمثل هذه الصورة، التي تسمح بالاندماجات الذاتية، "انغماسًا".
لذلك، يمتلك الانغماس مجموعة من التداخلات الذاتية (هنا تتعلق بمنحنى دائري بسيط). ومع ذلك، يجب أن يتغير المستوى المماس بشكل مستمر. مع هذه المقدمة، عندما تنظر إلى الرسم أعلاه، ترى بوضوح أن العملية تنقل جزءًا من السطح الداخلي (المُمثَّل باللون الأخضر) إلى الخارج. لاستكمال عكس الكرة، يجب أن نضغط هذا النوع من الأمعاء الاستوائية. يبدو أن هناك مشكلة هنا: هذا الضغط سيُدمر استمرارية المستوى المماس، وبالتالي ستحتوي هذه التحويلة على خطوة لا تُعتبر انغماسًا.
في يوم من الأيام، أثبت رياضياتي أمريكي يُدعى ستيفن سمايلز أن "الكرة S2 تمتلك فئة واحدة من الانغماسات". هذه الجملة الغامضة كانت لها نتائج أن تتمكن من الانتقال، من خلال تحويلة تحتوي فقط على انغماسات حقيقية، من الكرة "القياسية" إلى تمثيلها "الضد"، أي حيث يتم تبديل كل نقطة مع نظيرتها المعاكسة: بمعنى بسيط... كرة مقلوبة. كان راؤول باتت رئيس سمايلز. على الرغم من أن البرهان الرسمي لهذا الأمر بدا صحيحًا، لم يكن أحد قادرًا على تنفيذ هذه العملية بشكل واقعي. كان باتت يسأل باستمرار سمايلز "أظهر لي كيف تعتقد أنك ستقوم بذلك"؛ فكان سمايلز، المعروف بوضوحه، يجيب "لا أعرف شيئًا عن ذلك". حصل سمايلز لاحقًا على ميدالية فيلد، وهي ما يعادل جائزة نوبل في الرياضيات. على سبيل الملاحظة، قد تسأل لماذا لا توجد جائزة نوبل في الرياضيات. الجواب بسيط: زوجته هربت مع رياضياتي.
ظل الأمر كذلك لسنوات عديدة، حتى نشر رياضياتي أمريكي يُدعى أنتوني فيليبس نسخة أولى من هذا الانعكاس في عام 1967 في Scientific American، وهو أمر معقد للغاية. الثانية تم اختراعها في أوائل السبعينيات من قبل الرياضياتي الفرنسي (العمي) بيرنارد مورين. كنت أول من رسم سلسلة التحولات، والتي ستكون موضوع مقال قادم على هذا الموقع، بالمناسبة غني جدًا. ومع ذلك، يقودنا كل هذا إلى ملاحظة. يمكن تمثيل الأسطح على شكل متعدد السطوح. يمكن اعتبار مكعب أو رباعي الوجوه تمثيلًا متعدد السطوح للكرة، في المعنى الذي يمتلك فيه هذه الأشياء نفس الطوبولوجيا. في هذا الصدد، راجع Topologicon. علاوة على ذلك، من الواضح أن إذا كان من الممكن عكس الكرة، فمن الممكن أيضًا عكس المكعب. التحويلة التي اخترعها بيرنارد مورين (التي قدمتها في مقال يناير 1979 في Pour la Science) تمر عبر نموذج مركزي. هناك تناظر في هذه السلسلة. هذا ما أسميه "نموذج مركزي بـ4 أذنين". أتحدث مبكرًا. ومع ذلك، تمامًا كما تتناسب الكرة مع التمثيلات متعددة الأوجه، فإن نفس الشيء ينطبق على الخطوات التالية من هذه التحويلة. ما تراه يدور في صفحتي الأولى هو النسخة متعددة الأوجه من النموذج المركزي لعكس الكرة، الذي اخترعته قبل حوالي عقد من الزمن. يكمن جاذبية هذه النماذج متعددة الأوجه في أنها يمكن بناؤها باستخدام أسطح مسطحة. يمكن أيضًا بناؤها باستخدام الورق والمقص. انظر الرسم البياني التالي (أشكر بين قوسين صديقي كريستوف تاردي، الذي قام بإعداد العناصر بحجم مناسب).
هذا هو مخطط التركيب الذي تراه بشكل عام. ولكن من الأفضل أن تنتقل إلى صفحة "القطع" لطباعته. اطبعها. ثم، باستخدام هذا النسخة المطبوعة على الورق العادي من طابعتك، اطبع أربع نسخ متطابقة، اثنتين على ورق كرتون أخضر، واثنتين في اللون الأصفر. ستتمكن من بناء النموذج المركزي لعكس المكعب باستخدام هذه الأوراق المقطعة.
على العناصر التي يجب قطعها هناك زوج من الحروف: أ، ب، ج، د، هـ، ف... من الأفضل طي الورقة بحيث تتطابق نفس الحروف، ثم تثبيت الوجوه باستخدام شريط لاصق شفاف. الرسوم التالية توضح طريقة تركيب أحد الأربعة قطع. إليك أول شيء يجب أن تبدأ به طي أحد العناصر الأربعة:
هناك زوج من العناصر الأربعة، مرئية من زوايا مختلفة.
ثم يتم ترتيبها بحيث تشكل كائنًا يتمتع بتماثل من الدرجة الرابعة، حيث تتبع العناصر الخضراء والصفراء. لرؤيته في 3D، نظرة على إنجاز تاردي، في قسم "الواقع الافتراضي". النموذج المركزي مثبت وتم إنشاؤه أيضًا في "vrml" في هذا القسم. إليك مُعاد إنتاجه من زوايا مختلفة:
لا يمكن القول أن زاوية معينة تتوافق مع "الأعلى" والأخرى مع "الأسفل"، لأن هذه التسميات عشوائية تمامًا. في الصورة اليسرى، النقطة "المركزية" تتوافق مع "النقطة المزدوجة" (في...