منطقة الطوبولوجيا النموذج الرياضي
الإيطالية: أندريا سامبستيتي، جامعة روما
انقر هنا لعرض الرسم البياني للنموذج بحجم 1:1، يمكن طباعته وقطعه.
بالقيام بنسخ أربع نسخ من هذا النموذج على ورق كرتون ملونين مختلفين، يمكنك بناء النموذج بنفسك، واتباع التعليمات لتركيبه
لقد رأيت بالتأكيد كائن غريب يدور بلا توقف على الجانب الأيسر من الصفحة الرئيسية لموقعنا. ماذا هو؟
في يوم ما، عندما أجد الوقت، سأقوم بتثبيت وصف لعكس الكرة على هذا الموقع، كما قدمته في عدد Pour la Science ليناير 1979، أي... منذ 22 عامًا! سيتطلب كل هذا العديد من التفاصيل والمقدمة. ما المقصود بـ "عكس الكرة"؟ الكرة لا تعني الشيء نفسه للشخص العادي والرياضيات-الهندسة. بالنسبة للشخص العادي، ليست سوى مجموعة النقاط في الفضاء التي تقع على مسافة R من نقطة O محددة. سيستمر الهندسة في تسمية "كرة"، بدلًا من ذلك، حتى كائن يتوافق مع "كرة مُعَدَّلة"، مثل بطاطة مثلاً. لفهم هذه المفاهيم بدقة أكبر، احصل على قرص Lanturlu الذي يحتوي على الكوميكس "Topologicon". لكن الرياضيات تذهب أبعد قليلاً. تُسمى السطح "منتظم" عندما يمكن تعريف مستوى مماس في كل نقطة منها. هذا يسمح بالفعل بالتفكير في عدد لا يحصى من التمددات المنتظمة الممكنة للكرة، في أشكال لا حصر لها لبطاطة، مع تغيير مساحة السطح بشكل عشوائي. مع ذلك، في عالمنا الفيزيائي، شخص يحاول عكس الكرة (نقل سطحها الداخلي إلى الخارج) سيواجه صعوبة لا يمكن التغلب عليها لجعل سطحه يمر عبر نفسه. عندما تُعتبر هذه الفرضية، أي يمنع السطح من المرور عبر نفسه أو حتى "اللمس"، يتحدث الرياضيات عن "الدمج" للكرة S2. لكن الرياضيات تسمح دائمًا بكل شيء. الكرة بالنسبة له كائن "افتراضي" وليس ماديًا، حيث يُعتبر المرور عبر سطح ممكنًا. تُظهر الصورة أدناه سلسلة من الرسومات لكرة تمر عبر نفسها. تمثل هذه الصورة، التي تسمح بالمرور عبر نفسها، ما يُسمى "الانغماس".
لذلك، يمتلك الانغماس مجموعة من التداخلات الذاتية (هنا تتعلق بمنحنى دائري بسيط). ومع ذلك، يجب أن يتغير مستوى المماس بشكل مستمر. مع هذا الشرط، عندما تنظر إلى الرسم أعلاه، يمكنك رؤية بوضوح أن العملية تنقل جزءًا من السطح الداخلي (المُظهر باللون الأخضر) إلى الخارج. لاستكمال العكس، يجب أن تضغط هذا النوع من القناة الاستوائية. يبدو أن هناك مشكلة هنا: هذا الضغط سيُدمر استمرارية مستوى المماس، وبالتالي ستكون هذه التحويلة تحتوي على خطوة لا تُعتبر انغماسًا.
في يوم ما، قام رياضي أمريكي، ستيفن سمايل، ببرهنة أن "الكرة S2 تمتلك فئة واحدة من الانغماسات". هذه الجملة الغامضة كانت لها نتائج أن الانتقال من الكرة "القياسية" إلى تمثيلها "الضدّي"، أي حيث يتم تبديل كل نقطة بضدّها: بمعنى آخر... كرة مقلوبة. كان راؤول بات رئيس سمايل. رغم أن البرهنة الرسمية لهذا الأمر كانت تبدو صحيحة، لم يكن أحد قادرًا على تنفيذ هذه العملية بشكل واقعي. واصل بات طلبًا من سمايل "أظهر لي كيف تعتقد أنك ستقوم بذلك"، فكان جواب سمايل، المعروف بصدقه، "لا أعرف شيئًا عن ذلك". حصل سمايل لاحقًا على جائزة فيلد، وهي ما يعادل جائزة نوبل في الرياضيات. على أي حال، ربما تسأل نفسك لماذا لا توجد جائزة نوبل في الرياضيات. الجواب بسيط: زوجته هربت مع رياضي.
ظل الوضع هكذا لسنوات عديدة، حتى نشر رياضي أمريكي يسمى أنطوني فيليبس نسخة أولية من هذا العكس في عام 1967 في Scientific American، وهو أمر معقد للغاية. النسخة الثانية تم اختراعها في أوائل السبعينيات من قبل الرياضي الفرنسي (العمي) بيرنارد مورين. كنت أول من رسم سلسلة التحولات، والتي ستكون موضوع مقال قادم على هذا الموقع، على الرغم من أن الموقع غني جدًا. ومع ذلك، يقودنا كل هذا إلى ملاحظة. يمكن تمثيل الأسطح بشكل متعدد الوجوه. يمكن اعتبار المكعب أو الهرم الثلاثي كتمثيلات متعددة الوجوه للكرة، في المعنى الذي أن هذه الأشياء لها نفس الطوبولوجيا. في هذا الصدد، راجع Topologicon. بالإضافة إلى ذلك، من الواضح أن إذا كان من الممكن عكس الكرة، فمن الممكن أيضًا عكس المكعب. التحويلة التي ابتكرها بيرنارد مورين (التي أظهرتها في مقال يناير 1979 في Pour la Science) تمر عبر نموذج مركزي. هناك تناظر في هذه السلسلة. وهو ما أسميه "النموذج المركزي بـ 4 أذنين". أتحدث مبكرًا. ومع ذلك، تمامًا كما تُعد الكرة مناسبة لتمثيلات متعددة الوجوه، فإن نفس الشيء ينطبق على الخطوات التالية من هذه التحويلة. ما تراه يدور في صفحتي الرئيسية هو النسخة متعددة الوجوه للنموذج المركزي لعكس الكرة، الذي اخترعته قبل حوالي عقد من الزمن. فائدة هذه النماذج متعددة الوجوه تكمن في أنها يمكن بناؤها باستخدام أسطح مسطحة. يمكن أيضًا بناؤها باستخدام الورق والمقص. انظر الرسم البياني أدناه (أشكر بين قوسين صديقي كريستوف تاردي، الذي أنتج العناصر بحجم مناسب).
هذا هو رسم تخطيطي يعرض نظرة عامة. ولكن لطباعته، من الأفضل أن تنتقل إلى صفحة "القطع". اطبعها. ثم، باستخدام هذا النسخة المطبوعة على الورق العادي من طابعتك، قم بنسخها أربع مرات متطابقة، اثنتين على ورق كرتون أخضر، واثنتين في اللون الأصفر. ستكون قادرًا، من خلال هذه الأوراق المقطعة، على بناء النموذج المركزي لعكس المكعب.
على العناصر المقطعة هناك زوج من الحروف: a، b، c، d، e، f إلخ. من الممكن فقط طي الورقة بحيث تتطابق الحروف نفسها، ثم تثبيت الوجوه باستخدام شريط لاصق شفاف. الرسومات التالية توضح كيفية تركيب أحد الأربعة قطع. أولاً، إليك كيف يجب أن تبدأ في طي أحد العناصر الأربعة:
هذان من العناصر الأربعة، من زوايا مختلفة.
ثم يتم ترتيبها بحيث تشكل كائنًا يتمتع بتماثل من الدرجة الرابعة، حيث تتبع العناصر الخضراء والصفراء. لرؤية ذلك في 3D، انظر إنجاز تاردي في قسم "الواقع الافتراضي". النموذج المركزي مثبت وتم إنشاؤه أيضًا في "vrml" في هذا القسم. إليك مثال مُعاد إنتاجه من زوايا مختلفة:
لا يمكن القول أن نقطة رؤية معينة تتوافق مع "العلوي" والأخرى مع "السفلي"، لأن هذه التسميات عشوائية تمامًا. في الصورة اليسرى، النقطة "المركزية" تتوافق مع "النقطة المزدوجة" (في ...